Открыть главное меню

Звезда Ходжа

(перенаправлено с «Дуальность Ходжа»)

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

ОпределениеПравить

Вспомогательные определенияПравить

Определим форму объёма

 
 

где   — неотрицательный скаляр на многообразии  , а   — полностью антисимметричный символ.  . Даже в отсутствие метрики, если  , можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

 
 

здесь антисимметричный символ   совпадает  .

В присутствии метрики   с поднятыми индексами может отличаться от   на знак:  . Здесь и далее  

Введём операцию антисимметризации:

 . Суммирование ведётся по всем перестановкам   индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности  . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры:  ;  .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

 .

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки   только по упорядоченным наборам не деля на  , это связано с тем, что разные наборы индексов  , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

 
 

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды ХоджаПравить

Используя форму объёма   и поливектор   можно ввести операцию  , превращающую поливектор   степени   в дифференциальную форму   степени  , и обратную операцию  , превращающую форму   степени   в поливектор   степени  

 
 

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

 

Поскольку   и  , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов   и   введём пару операторов:   и  , отличающихся от них знаком.

 
 

Звезда Ходжа в присутствии метрикиПравить

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика  . Обозначим  .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой   называется форма   В компонентах:

 
 

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

 

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.  

Дополнительные операторыПравить

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

 
 

В присутствие метрики оператор дивергенции   выражается через оператор ковариантной производной  , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

 

Иногда операцию   (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию   — дивергенцией. Для 1-формы операция   задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан   от  -формы   определяется формулой:

 

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

 

Для скаляра  . Если  , то по формуле Бохнера для произвольной метрики в   появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае  

 

где   — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

ИсточникиПравить