Тензор

(перенаправлено с «Дуальный базис»)

Те́нзор (от лат. tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике термин, обозначающий линейный алгебраический объект (объект линейной алгебры), заданный на некотором векторном пространстве конечной размерности . По существу тензоры - это векторы некоторого векторного пространства размерности (-натуральное число называемое рангом тензора), связанного (полилинейно) с базовым векторным пространством (именно наличие этой связи позволяет идентифицировать их как тензоры, а не просто векторы некоторого векторного пространства).

Тензор механического напряжения второго ранга. столбцами которой являются силы, действующие на , и грани куба

При (тензоры ранга 0) подразумеваются скаляры, то есть элементы поля, на котором задано векторное пространство (обычно это просто действительные числа). При (тензоры ранга 1) - это векторы самого пространства , а также так называемые ковекторы - линейные функционалы (линейные формы) на , которые образуют пространство той же размерности , называемое сопряженным пространcтвом. При (тензоры 2 ранга) - это так называемые билинейные формы и линейные операторы на .

Кроме ранга, выраженного одним натуральным числом, для полной характеристики тензоров используется пара натуральных чисел или , называемая типом или валентностью тензора, где называют контравариантной, а - ковариантной валентностью, а сумма равна рангу тензора. В этом случае используют запись тензора в виде буквенного обозначения с верхним и нижним индексом, обозначающим контравариантную и ковариантную валентность и говорят -раз контравариантный и -раз ковариантный тензор.

Тензоры над векторным пространством образуют векторное пространство, которое удобно обозначить как (смысл этого обозначения прояснится в дальнейшем), размерность которого равна . Валентность тензора определяет характер зависимости пространства от базового векторного пространства (см. также ковариантность и контравариантность (математика)). При выборе некоторого базиса в пространстве , тензор, как вектор этого пространства, можно представить как упорядоченный набор чисел - координат или компонент тензора (поскольку базис пространства , выбираемый для координатного представления тензора, однозначно определяется выбором базиса основного пространства , говорят о координатном представлении тензора в базисе именно пространства ). Несмотря на это, часто удобно структурировать этот набор координат в виде многомерной (в общем случае) таблицы , где число множителей равно рангу тензора . Если ранг равен 0, то подразумевается просто одно число - элемент поля действительных чисел (на котором построено векторное пространство). Если ранг равен 1, то это просто упорядоченный набор чисел (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 - это квадратная матрица, при ранге 3 - трех-мерный куб. В последнем случае можно также представить как блочную (неквадратную) матрицу, состоящую из строки (или столбца) квадратных матриц размера . Тензоры 4-го ранга также можно блочно представить в виде матрицы состоящей из матриц такой же размерности. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно.

Изменение координат вектора при переходе к другому базису

Координаты тензора обозначают с помощью совокупности индексов (верхних - контравариантных и нижних - ковариантных). Например, векторы в тензорном обозначении записываются одним верхним индексом , линейные операторы - с двумя индексами (нижним и верхним): , билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) - с помощью двух нижних индексов . Тензор типа (1,3) (например, тензор кривизны Римана) будет записан как . В общем случае тензор валентности записывается с помощью верхних и нижних индексов:

При смене базиса изменяется также и координатное представление тензора (за исключением скаляров - они одинаковы во всех базисах), но сам тензор, как алгебраический ("геометрический") объект, от базиса не зависит. Это наглядно видно на примере векторов основного пространства, который можно геометрически представить как направленную стрелку некоторой длины, и которая в каждом базисе представляется разными наборами чисел (координат вектора) и при этом сам вектор "геометрически" неизменен (см. рисунок справа). Характер изменения координат тензора определяется валентностью тензора (в зависимости от определения тензора этот характер собственно и определяет валентность тензора).

В различных приложениях часто применяются так называемые тензорные поля, когда различным точкам пространства (многообразия) соответствуют разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта может различаться от точки к точке). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами.

Тензоры были придуманы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро , которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля.

ОпределенияПравить

Существует несколько по существу эквивалентных определений, тензоров. Их эквивалентность связана с тем, что между множествами объектов (включая и тензорные операции и отношения между ними), порождаемых этими определениями, можно установить взаимно-однозначное соответствие .

Предварительные сведения. Векторы, ковекторы и преобразования базисаПравить

Пусть набор векторов   является базисом в векторном пространстве  . Тогда любой вектор  этого пространства в данном базисе представляется как линейная комбинация базисных векторов  . Для упрощения записей и изложения применяют следующее правило Эйнштейна: если в записи участвуют верхние и нижние индексы, обозначенные одной буквой, то предполагается суммирование по этому индексу. Тогда представление вектора в базисе можно записать без знака суммирования следующим образом:  . Набор (упорядоченный) чисел   называют координатами или компонентами вектора в данном базисе или координатным представлением вектора.

Рассмотрим другой набор векторов  , также являющийся базисом. Каждый из векторов нового базиса может быть представлен в "старом" базисе (как и любой вектор):  , то есть координатами  . Соответственно,   - матрица преобразования старого базиса в новый. Обратная матрица   позволяет получить старый базис из нового. Кроме этого с именно помощью обратной матрицы можно получить координатное представление произвольного вектора в новом базисе. В самом деле  , то есть новые координаты (в новом базисе) равны   (в матрично-векторной форме это записывается как  ). То есть координаты вектора преобразовываются обратно базису. Это свойство преобразования координат называется контравариантность.

Соответственно, если координаты какого-либо объекта будут преобразовываться как базис, то это называется ковариантность. Примером ковариантного объекта являются так называемые ковекторы - это линейные функции на векторном пространстве. Однако, это требует пояснения. В силу линейности множество всех таких линейных функций также образует векторное пространство  , называемое сопряженным к  . Оно имеет ту же размерность, что и "основное" пространство. В заданном базисе основного пространства произвольная линейная функция равна  .Координаты вектора   можно трактовать как тоже линейные функции, которые ставят в соответствие каждому вектору - его соответствующую координату:  . Эти линейные функции являются базисом в сопряженном пространстве и называются дуальным базисом (к базису основного пространства). Соответственно, произвольная линейная функция представляется в виде: , то есть тоже как набор координат  . Она является вектором в сопряженном пространстве, поэтому при смене базиса в нем, координаты функции меняются обратно своему базису. Но при смене базиса в основном пространстве дуальный базис преобразуется обратно к основному (так как это координаты векторов по сути), соответственно, координаты линейной функции преобразовываются в итоге так же, как и базис основного пространства. Поэтому они называются ковекторами по отношению к основному пространству.

Таким образом, векторы и ковекторы представляют собой простейшие примеры тензоров (соответственно контравариантного и ковариантного) и из которых видно, что несмотря на разные их координатные представления в разных базисах, они обозначают один и тот же объект (соответственно вектор и линейную функцию).

Замечание. В пространствах со (псевдо)скалярным произведением ((псевдо)евклидовы пространства) сопряженное пространство канонически изоморфно основному пространству. То есть их можно отождествить. Поэтому вектор и ковектор по существу можно считать одним объектом. В связи с этим считается, что один и тот же вектор (в общем случае и тензор) можно просто представить как в контравариантных координатах, так и в ковариантных. Так часто поступают, например, в физике, где тензоры обычно рассматриваются либо в геометрическом трехмерном пространстве, либо в четырехмерном пространстве-времени.

Тензор как набор координат (многоиндексный объект)Править

Тензором типа   на векторном пространстве   (размерности  ) называется объект, задаваемый в произвольном базисе   набором чисел   (каждый из индексов может принимать значения от 1 до  ), которые при переходе к другому базису   изменяются по следующему закону (применяется правило Эйнштейна):

 

то есть   раз с помощью матрицы, обратной к матрице преобразования базиса, и   раз с помощью матрицы преобразования базиса.

Другими словами, в рамках данного определения

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса.

Число   называют валентностью или рангом тензора,   - контравариантной валентностью,  - ковариантной валентностью . Говорят также  -раз контравариантный и   -раз ковариантный тензор. Число компонент тензора (набор чисел, которым представляется тензор в данном базисе) равно  .

Соответственно, из этого определения следует, что вектор пространства   - это тензор типа  , а ковектор этого пространства - это тензор типа  . Для удобства считают, что тензор типа   - это само поле действительных чисел, то есть скаляры, не изменяющиеся при смене базиса.

Тензор как полилинейная функцияПравить

Наряду с линейными функциями на векторном пространстве   (ковекторы) можно рассматривать также полилинейные функции - функции от нескольких аргументов-векторов пространства, линейные по каждому из аргументов. Более того, такие полинейные функции можно рассматривать и на сопряженном векторном пространстве  , то есть полилинейные функции от ковекторов. Наконец, можно рассматривать полилинейные функции, где в качестве аргументов могут участвовать как векторы, так и ковекторы.

Тензором типа   называется полилинейная функция  , то есть числовая функция от s+r аргументов следующего вида  , где  -линейные функции на  , а   - векторы пространства  .

В частности полилинейные функции от   аргументов-векторов основного пространстве   являются тензорами типа  , то есть  -раз ковариантными тензорами (частным случаем такого типа тензоров были ковекторы). В самом деле, если рассматривать такой тензор как функцию  , то при представлении каждого из векторов как линейную комбинацию векторов базиса пространства в силу полилинейности функции получим:

 

где   - координатное выражение полилинейной функции, а произведение   - это дуальный базис пространства  , сопряженного к  . То есть полилинейные функции образуют векторное пространство, сопряженное к  . При смене базиса в основном пространстве в сопряженном базис меняется обратно, а векторы самого сопряженного пространства (то есть в данном случае полилинейные функции) меняются обратно к своему базису, а значит также как и базис основного пространства. Таким образом, полилинейные функции на векторном пространстве преобразуются ковариантно в координатном представлении и являются r-раз ковариантными тензорами.

Классический пример тензоров типа   (дважды ковариантный тензор) являются билинейные формы - числовые функции двух аргументов-векторов пространства  , линейные по каждому из аргументов. В координатном представлении она записывается в виде матрицы A компонент - значений билинейной формы на парах базисных векторов. При смене базиса матрица билинейной формы преобразуются как  , где С -матрица преобразования базиса.

Аналогично можно показать, что полилинейные функции на сопряженном пространстве   являются тензорами типа   в силу контравариантного характера преобразования координат. Закон преобразования полилинейных функций общего вида также соответствует "простейшему" координатному определению.

Несколько сложнее в данном определении понять контравариантные тензоры типа   - векторы. Дело в том что линейные функции на сопряженном пространстве также образуют векторное пространство, сопряженное к сопряженному (второе сопряженное пространство)  . Однако, можно показать, что в рассматриваемом случае конечномерных векторных пространств второе сопряженное пространство  , как говорят, канонически изоморфно исходному векторному пространству  , то есть пространства   и   можно отождествлять. Поэтому линейные функционалы на сопряженном пространстве   можно отождествлять с векторами пространства  , соответственно это тензоры типа  

Также неочевидным из этого определения является то, что линейные операторы на векторном пространстве являются тензорами типа  . Тем не менее, если рассмотреть полилинейную функцию  , где  -вектор пространства, а  -линейная функция (вектор сопряженного пространства), то при фиксированном   такая функция есть просто линейный функционал на сопряженном пространстве, это есть элемент второго сопряженного пространства. Как уже отмечалось выше, это пространство тождественно исходному векторному пространству, а значит эту функцию при фиксированном x можно отождествить с некоторым вектором y исходного пространство. В итоге получаем, что каждому вектору x сопоставлен другой вектор y этого же пространства и при этом такое отображение линейно. Следовательно, полилинейные функции типа   отождествляются с линейными операторами на V.

Рассуждая аналогично, можно показать, что линейные отображения   являются тензорами типа  

Тензор как элемент тензорного произведения векторных пространствПравить

Тензор ранга   над  -мерным векторным пространством   — это элемент тензорного произведения   пространств   и   сопряжённых пространств   (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на  )

 

Данное определение считается современным, но требует предварительного пояснения непростого понятия тензорного произведения векторных пространств. Тензорное произведение векторных пространств - это векторное пространство W, которое связано с этими векторными пространствами посредством полилинейного отображения, то есть каждому элементу декартова (прямого) произведения векторных пространств поставлен в соответствие элемент пространства W и каждой полилинейной форме на этих векторных пространствах соответствует линейная форма в пространстве W.

Выберем в пространстве   базис  , и соответственно   — дуальный базис в сопряжённом пространстве   (то есть  , где   — символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров   естественным образом возникает базис

 .

Произвольный тензор   можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

 

Используя соглашение Эйнштейна, это разложение можно записать как

 

Числа   называются компонентами тензора  . Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора   будет таким:

 

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе  :

 

Тензорное полеПравить

Для так называемых гладких многообразий  , которые в общем случае не являются векторными пространствами, тензор может быть задан на так называемом касательном пространстве   к точке   многообразия, поскольку касательное пространство является векторным пространством. Соответственно, тензор можно считать заданным в точке многообразия. Соответственно, гладкая функция (тензорозначная), ставящая в соответствие каждой точке многообразия тензор, есть тензорное поле.

Классический пример тензорного поля, называемого обычно просто тензором, -метрический тензор в римановых многообразиях (пространствах) и применяемый также в общей теории относительности.

Примеры тензоров и многоиндексных объектов, не являющихся тензорамиПравить

Тензоры широко применяются в дифференциальной геометрии, алгебре, механике, теоретической и математической физике, общей теории относительности и во многих других разделах науки. Многие уравнения в физике и математике, при использовании тензорной записи, становятся более короткими и удобными. Использование тензоров позволяет увидеть различные симметрии физических величин, уравнений и моделей. В общей теории относительности используется, например, тензор энергии-импульса, тензоры кривизны, метрический тензор (последний является базовым понятием в римановой геометрии), в механике - тензор напряжений и т.д.

Контравариантный ранг (число верхних индексов)
ковариантный ранг (число нижних индексов) 0 1 2 3 s
0 Скаляр, длина вектора, интервал (теория относительности), скалярная кривизна Вектор (алгебра), 4-векторы в СТО, например 4-вектор энергии-импульса (4-импульс) Тензор энергии-импульса в ОТО, бивектор Спин-тензор в квантовой теории поля s-вектор (мультивектор, поливектор)
1 Ковектор, линейная форма, градиент скалярной функции Линейный оператор  
2 Билинейная форма, Скалярное произведение, Метрический тензор, Тензор Риччи, Тензор электромагнитного поля, Тензор напряжений Линейное отображение  
3 Тензор Леви-Чивиты Тензор кривизны Римана
r Полилинейная форма, Форма объема Линейное отображение  


Любой набор чисел (например, матрица), без указания закона их изменения при изменении базиса пространства (например, они могут вообще не изменяться), тензором не является (исключение это собственно сами скаляры). Не являются тензорами также многоиндексные объекты, которые хотя бы в одном базисе равен нулю (все координаты в этом базисе равны нулю).

Существуют объекты, которые похожи на тензоры (к ним применимы стандартные операции с тензорами, например, свертка с векторами или другими тензорами), но закон преобразования которых при смене базиса не является тензорным. Классическим примером таких объектов, являются, например, символы Кристоффеля   также не представляют тензора, хотя бы потому, что они могут быть обращены в ноль выбором координат вблизи произвольной точки, так же, как выбором (криволинейных) координат могут быть сделаны ненулевыми. Однако свёртка компонент связности с вектором даёт настоящий вектор, а их разность — настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров — расслоения струй.

К тензорам не относятся также сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.



Ниже приведены простейшие примеры тензоров, понимание которых значительно упростит восприятие общего определения тензора произвольной валентности (ранга).

Примеры тензоров ранга 1Править

Пример изменения координат вектора при смене базисаПравить

 
Изменение координат вектора   при переходе к другому базису

В данном примере используется векторное пространство   (евклидова плоскость), элементами которого являются упорядоченные пары действительных чисел.

Рассмотрим вектор   (на рисунке — зеленый). Введем базис на плоскости, состоящий из векторов   и   (такой базис называется стандартным базисом в  , на рисунке он обозначен красным). Заметим, вектор   не зависит от выбора базиса и задается независимо от него.

В прямоугольной системе координат  , связанной с базисом  ,   вектор   имеет координаты  ,   то есть

 

Теперь введем новый базис  ,  , получаемый из первого поворотом на   в положительном направлении. Тогда  ,  .

Соответственно, матрица преобразования базиса имеет вид  .


Уже по рисунку видно, что координаты  ,   вектора   в новом базисе отличаются от координат в исходном базисе. Это очень важно, так как сам вектор  , как элемент линейного пространства, никак не зависит от выбора базиса в пространстве, однако координаты  ,   вектора   изменяются при переходе к новому базису, по специальному (векторному) закону преобразования.

На примере вектора   из данного примера получим закон преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Разложим векторы  ,  , по базису  ,   и обозначим через     -ю координату вектора  , тогда

 
где, как и везде далее, подразумевается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам (по индексу  ). Матрица   называется матрицей перехода от базиса  ,   к базису  ,  . Разложим вектор   по обоим базисам и применим ранее полученное выражение для  

 

Из третьего равенства получается связь между координатами в новом и старом базисах:  , домножив равенство на обратную матрицу  , получим   — выражение, позволяющее найти координаты вектора   в базисе  ,  .

Данные уравнения и задают ранее упомянутый закон преобразования координат вектора.

Отметим лишь, что в этом примере, в базисе  ,   вектор   имеет координаты  ,   — это можно получить, используя уравнение для  .

Видно, что, координаты вектора в новом базисе, действительно, отличаются от координат в старом базисе.

Пример линейного функционала (тензора типа  , ковектора)Править

Линейный функционал - это линейное отображение из векторного пространства   в поле  , над которым задано это пространство (для евклидовых пространств  ).

Как и в прошлом примере будем использовать евклидово пространство  .

Зафиксируем некоторый вектор  , имеющий единичную длину и рассмотрим функцию  , ставящую в соответствие вектору   скалярное произведение вектора   на вектор  . По сути,   — это проекция вектора   на вектор  .

Так как скалярное произведение линейно по обоим аргументам, отображение   является линейным.

Для линейных отображений можно ввести операции умножения на число и сложения по правилу  ), множество всех линейных функционалов со введенными операциями является линейным пространством, называемым сопряженным пространством и обозначаемым  .

Как и в пространстве  , в   можно выбрать базис, для сопряженного пространства элементами базиса являются функции из   в  , далее рассмотрим часто используемый, важный, базис в  .

Зафиксируем в пространстве   некоторый базис   и определим отображения   по правилу  , где   -я координата вектора   в базисе   . Координатные функции   являются линейными функционалами и образуют базис (называемый двойственным) в пространстве  .

Так как   — векторное пространство, его элемент   (введенный ранее функционал проекции) можно разложить по базису  :  .

Числа   называются координатами тензора  , они зависят от двойственного базиса  , который определяется выбором базиса   в пространстве  . Поэтому если выбрать другой базис в  , то координаты линейного функционала изменятся, хотя сам функционал при этом останется неизменным.

Способом, аналогичным использованному в примере тензора типа  , можно получить закон преобразования координат ковектора  . Мы не будем этого делать, но еще раз отметим — координаты тензоров типа   при изменении базиса преобразуются по специальному, ковекторному, закону преобразования, сам тензор (отображение  ) при этом не изменяется.

Аналогичные утверждения верны и для тензоров более высоких валентностей.

Примеры тензоров ранга 2Править

Существует три вида тензоров второго ранга:

  • тензоры типа  билинейные функции — это отображения  , линейные по обоим аргументам.
  • тензоры типа  линейные операторы — это линейные отображение   пространства в себя.
  • тензоры типа   — это отображения  , линейные по каждому аргументу.

Во всех трех случаях отображения (вместе со стандартными операциями сложения и умножения на элементы поля  , заданными на множестве этих отображений) образуют линейные пространства, обозначаемые соответственно  ,   и  .

Тензоры типа  Править

Одним из самых распространенных примеров билинейной функции является скалярное произведение на евклидовом пространстве. Аналогично другим тензорам, скалярное произведение не зависит от выбора базиса пространства, однако, каждому базису   скалярное произведение ставит в соответствие матрицу, коэффициенты   которой определяются скалярным произведением соответствующих базисных векторов:

 

Данная матрица зависит от выбранного базиса и изменяется про переходе к новому базису по закону преобразования матрицы билинейной формы:

 , где   — элементы матрицы перехода к новому базису.

Тензоры типа  Править

Линейный оператор  , как и другие тензоры ранга 2, каждому базису ставит в соответствие некоторую матрицу (называемую матрицей оператора), коэффициенты   которой определяются равенством   (т.е.   — это j-я координата образа вектора  ).

Эта матрица преобразуется по следующему закону:

 

(тут   — коэффициенты матрицы, обратной к матрице перехода).

Тензоры типа  Править

В отличие от двух предыдущих примеров, данный вид тензоров редко используется в приложениях и физике, однако он нашел применение в алгебре.

Напомним, что тензоры типа   — это полилинейные отображения вида  , каждое такое отображение ставит в соответствие базису матрицу с коэффициентами   (  - двойственный базис), закон преобразования данной матрицы имеет вид:  .

Важным примером такого тензора является кососимметричный тензор типа  , называемый бивектором (2-вектором).

Понятие бивектора обобщается на случай тензоров более высоких рангов — p-векторов.

Тензор напряжений — пример билинейной функции, используемой в механикеПравить

 
Модель ткани под сложной внешней нагрузкой (чёрные стрелки), в теле которой было совершено два разреза   и   (пунктирные линии), на которой изображены нормали к плоскости разрезов  ,   и реакция ткани  (фиолетовые стрелки) на осуществление данных разрезов в виде дальнейшего разрастания разрыва
 
Различный отклик ткани на разнонаправленные разрезы  ,  , совершённые в одной и той же точке

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора напряжения   отрезка ткани под внешней нагрузкой (см. рис.). Нагрузкой для куска ткани может служить растяжение её руками в разные стороны или натягивание ткани на какую-то сложную форму.

Интуитивно понятно, что из-за формы, ориентации молекул, атомных слоёв и разного плетения волокон в разных точках ткани напряжение будет разным. Это схоже с тем, как любой точке пространства может соответствовать своя температура или давление воздуха. Таким образом каждой точке ткани соответствует свой математический объект — тензор напряжения   (тензор второго ранга).

Чтобы понять, как тензор   показывает состояние напряжения в какой-нибудь точке ткани, можно сделать маленький разрез в данной точке и понаблюдать в каком направлении будут расходиться данные разрезы. Так на верхнем рисунке мы сделали два разреза в разных точках ткани: направление одного разреза   показано красной пунктирной линией, направление другого   — синей пунктирной линией. Чтобы математически описать направление данных разрезов, используется вектор нормали (вектор перпендикулярный плоскости разреза). Так у разреза   вектор нормали   красный и направлен перпендикулярно плоскости разреза, у разреза   ситуация похожая. Направление роста разрыва в ткани обозначено фиолетовыми векторами  .

Для предсказания того, куда будет развиваться разрез как раз и используется тензор напряжений. Математически данное предсказание выглядело бы так:

  1. Определить «тензорную функцию»  , аргументами которой являются координаты точек внутри тела, а значением является тензор, описывающий состояние напряжения в заданной точке тела.
  2. Выбрать точку в теле, например,   и из   получить тензор, который описывает состояние напряжения в точке  .
  3. Определить направление плоскости  , в которой будет проводиться разрез тела.
  4. Умножить направление разреза   в точке   на тензор напряжения в данной точке  , что в математической записи выглядит как  .
  5. Вектор   и покажет, куда будет распространяться разрез   в точке  .

Разрезы   и   — это векторы, а напряжение в точке   — это тензор.

Следует понимать, что разнонаправленные разрезы, совершённые в одной и той же точке тела, повлекут за собой различный отклик ткани. Данное явление показано на нижнем рисунке, где разрастание разрыва ткани происходит по разным направлениям   и с разной интенсивностью  , в ответ на различные направления первоначальных разрезов   и  , совершённых в одной и той же точке.

Как раз для описания такого сложного поведения и используются тензоры, которые в данном случае служат векторными функциями  , определёнными в каждой точке   куска ткани, которые ставят все возможные направления   разрезов в соответствие со всеми возможными направлениями   дальнейшего разрыва ткани.

Тензорные операцииПравить

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

  • Умножение на скаляр — умножение каждого компонента тензора на скаляр. Аналогично умножению вектора или скалярной величины (и то, и другое являются частными случаями тензора);
  • Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
    • Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.
  • Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга   на тензор ранга   является тензор суммарного ранга  , то есть если   и   то их произведение
 
Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:
 
  • Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:
     
    • (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
    • След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.
  • Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:
      (последнее — в записи Эйнштейна).
     — операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.
    • Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:
      (последнее — в записи Эйнштейна).
    • Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:
      (последнее — в записи Эйнштейна).
  • Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора   — это симметричный тензор  , а антисимметризация — антисимметричный тензор  . В общем случае симметризация по   индексам имеет вид
 
а антисимметризация:
 
Здесь   — всевозможные перестановки индексов   а   — чётность перестановки   Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.
  • Если   симметричен по   то симметризация по этим индексам совпадает с   а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.
  • Если   то     Здесь   — симметричное, а   — внешнее произведение векторных пространств.

СимметрииПравить

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

 
 

или в компонентах

 
 

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

 
 

или в компонентах

 
 

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны).

Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана   антисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензоры в физикеПравить

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твёрдое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Примерами тензоров в физике являются:

  • метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.
  • выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории.
  • тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряжённости электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.
  • напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.
  • едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д.
  • в механике абсолютно твёрдого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твёрдое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.
  • аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.
  • часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).
  • термин 4-тензор — применяется для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временно́е» и три «пространственных».

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Девиатор и шаровая частьПравить

Любой тензор второго ранга   может быть представлен в виде суммы девиатора   и шаровой части:

 

Здесь   — собственные значения тензора. Собственные значения девиатора   связаны с собственными значениями тензора:  . Понятие девиатора широко применяется в механике сплошных сред.[1]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. — М., Наука, 2005. — с. 21 — ISBN 5-02-032945-2.

ЛитератураПравить