Открыть главное меню

Евгений Александрович Болотов (1870, Казань — 13 сентября 1922, Москва) — русский учёный-механик, профессор.

Евгений Александрович Болотов
BolotovE.jpg
Дата рождения 1870
Место рождения
Дата смерти 13 сентября 1922(1922-09-13)
Место смерти
Страна
Научная сфера аналитическая механика
Место работы Московское высшее техническое училище, Казанский университет
Альма-матер Казанский университет
Учёная степень профессор
Известен как ректор Казанского университета

Содержание

БиографияПравить

Родился в 1870 году в Казани в семье архитектора Александра Андреевича Болотова. Окончил с золотой медалью Первую казанскую гимназию, а в 1887 году с дипломом первой степени — математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета[1].

В 1896 году стал приват-доцентом Московского университета по кафедре прикладной математики, которую тогда возглавлял Н. Е. Жуковский[2].

В период с 1900 по 1914 годы преподавал в Императорском Московском техническом училище (с 1918 г. этот вуз назывался Московское высшее техническое училище — МВТУ, а с 1989 г. — Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, МГТУ). В 1907 году Болотова утвердили в степени магистра прикладной математики за работу «О движении материальной плоской фигуры, стеснённой связями с трением». Сохранился отзыв Н. Е. Жуковского на эту работу, где отмечалось, что главная заслуга её автора — геометрический анализ, позволивший до конца разъяснить все механические аспекты движения материальной площадки[3].

В 1909—1910 годах Болотов читал в Московском техническом училище курс теории упругости (его лекции были стенографированы и подготовлены к печати В. П. Ветчинкиным, но так и не были изданы). Болотовым были написаны учебные руководства по курсам математического анализа (изданы в 1912 году) и аналитической геометрии, которые он читал много лет. Одновременно с их чтением он вёл упражнения по курсу теоретической и аналитической механики, читавшемуся Н. Е. Жуковским[4].

Жуковский высоко оценивал лекторское мастерство Болотова[5]:

… Его (Е. А. Болотова) блестящие лекторские способности с удовольствием вспоминаются его благодарными учениками по техническому училищу. Он умел всегда в самой простой форме указать на суть разбираемой задачи. Его учёные работы «Задача о разложении данного винта», «О движении материальной плоской фигуры со связями с трением», «О теореме Гаусса» отличаются простотой изложения и оригинальностью мысли. Вторая работа была представлена на магистерскую диссертацию в Московском университете и послужила к разъяснению многих парадоксов в вопросе динамики с трением. Наконец, его последнее сочинение о некотором приложении теоремы Гаусса могло быть принято как докторская диссертация…

В 1914 году по рекомендациям профессоров А. П. Котельникова, Д. И. Дубяго, Д. А. Гольдгаммера, Н. Н. Парфентьева Болотов был приглашён в Казанский университет заведовать кафедрой теоретической и практической механики[6]. С этого времени вплоть до 1921 года он — ординарный профессор Казанского университета по указанной кафедре.

В 1917 году Е. А. Болотов был утверждён проректором Казанского университета; 19 октября 1918 года избран, а 12 ноября утверждён в должности ректора Казанского университета. Выбыл из состава профессоров 1 января 1919 года, сложив с себя полномочия ректора; однако (после нового избрания Болотова в феврале профессором по кафедре механики) он 22 февраля этого года вновь был избран на должность ректора.

22 января 1921 года вышел в отставку с должности ректора Казанского университета. В том же году (после того, как 17 марта 1921 года умер Н. Е. Жуковский, заведовавший в Московском высшем техническом училище кафедрой теоретической механики) Е. А. Болотова вновь пригласили в МВТУ — возглавить эту кафедру. Болотов согласился и 15 декабря 1921 года был избран профессором по кафедре теоретической механики, но заведовал ей меньше года: 13 сентября 1922 года он скончался.

Научная деятельностьПравить

Научные исследования Е. А. Болотова посвящены различным разделам теоретической и аналитической механики. Вкладом в теорию винтов стала[7] его первая научная работа — статья 1893 года, в которой он решал задачу о разложении заданного винта на два винта с одинаковыми параметрами. Интерес представляют также[4] работы Е. А. Болотова в области гидромеханики, в которых исследовались движение тяжёлой несжимаемой жидкости и влияние ветра на скорость распространения малых волн по поверхности жидкости[2].

Важнейшее место в научном наследии Е. А. Болотова занимает его статья «О принципе Гаусса», изданная в 1916 г. в Казани и представляющая собой[8] монографию, посвящённую тщательному логическому анализу наиболее общего из дифференциальных вариационных принципов механики — принципа наименьшего принуждения Гаусса и ряда его обобщений. В этой работе, высоко оценённой Н. Е. Жуковским, Болотов обобщил принцип Гаусса на случай освобождения механической системы от части связей — позднее это направление исследований продолжили другие представители казанской школы механиков: Н. Г. Четаев, М. Ш. Аминов и др.[4]

Как известно[9], принцип наименьшего принуждения позволяет для каждого момента времени выделять действительное движение среди всех кинематически осуществимых её движений, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями (текущее состояние системы предполагается фиксированным; реализовать такие движения можно, изменив приложенные к системе активные силы[10]. Современная формулировка принципа Гаусса применительно к системе материальных точек такова[11][12]:  В каждый момент времени действительное движение механической системы с идеальными связями выделяется среди всех её кинематически осуществимых движений тем, что для него значение принуждения

 

минимально. Здесь   — число точек, входящих в систему,   — масса  -й точки,   — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  ускорение данной точки в кинематически осуществимом движении системы.

Поскольку в силу II закона Ньютона вектор     есть ускорение  -й точки освобождённой от всех связей системы, выражению для принуждения   можно придать вид

 

разность, стоящая в скобках, есть составляющая вектора ускорения  -й точки, вызванная действием связей. Именно они и принуждают систему со связями отклоняться от движения, свойственного освобождённой системе[13].

Рассмотрим, следуя Болотову, ряд обобщений принципа Гаусса.

Принцип Гаусса в форме Маха — БолотоваПравить

В 1883 г. Э. Мах, рассматривавший (как и сам Гаусс) лишь системы с двусторонними голономными связями, сформулировал[14] (без доказательства) следующее обобщение принципа Гаусса: его утверждение останется справедливым, если применить не полное, а частичное освобождение от связей[15][16]. Выражение   для принуждения   при этом остаётся неизменным, но роль векторов   в нём будут играть уже ускорения точек системы в движении, ограниченном меньшим числом связей[8][17].

Е. А. Болотов строго доказал указанное обобщение принципа Гаусса, распространив его[8] на случай наличия неголономных связей, линейных по скоростям. При этом он первым указал на необходимость строгого определения понятия возможного перемещения при применении дифференциальных вариационных принципов механики к неголономным системам. Позднее Н. Г. Четаев в 1932—1933 гг. дал[18] для понятия возможного перемещения новое (аксиоматическое) определение и показал, что принцип наименьшего принуждения в форме Маха — Болотова применим и для нелинейных неголономных систем[19][16].

Рассмотренное обобщение принципа Гаусса представляет значительный практический интерес. Например, оно используется при компьютерном моделировании динамики систем твёрдых тел[20], когда при вычислении принуждения (которое минимизируется методами математического программирования) отбрасывают связи между телами системы, но не связи между точками, входящими в состав каждого из тел. Данное обобщение излагается в ряде учебников теоретической механики[21].

Принцип Гаусса в форме Больцмана — БолотоваПравить

Идею дальнейшего обобщения принципа Гаусса выдвинул[22] в 1897 г. Л. Больцман. Он указал, что при наличии односторонних связей утверждение данного принципа останется справедливым, если применить частичное освобождение от связей, отбрасывая все односторонние связи и произвольное число связей двусторонних[16]; однако приведённое Больцманом обоснование выдвинутого им положения ясностью не отличалось и вызвало ряд упрёков[23].

Болотов строго доказал и это обобщение принципа Гаусса (именуемое ныне[24] принципом наименьшего принуждения в форме Больцмана — Болотова), сделав при этом важное для практического использования принципа замечание.

Чтобы сформулировать его, запишем (предполагая, что ограничения, налагаемые на скорости точек односторонними связями, выполнены в виде равенств; те связи, которые ослаблены по скоростям, вообще никак не ограничивают в текущий момент времени движение точек системы) условия, налагаемые соответственно двусторонними и односторонними связями на ускорения точек:

 

здесь   — число двусторонних, а   — число односторонних связей; неотрицательные скаляры  , называемые ускорениями ослабления связей, имеют[25] вид:

 

где величины   и   зависят от состояния и времени, а при минимизации принуждения являются константами; круглые скобки обозначают скалярное произведение трёхмерных векторов.

Суть упомянутого замечания Болотова состоит в том, что при минимизации принуждения   следует рассматривать среди всех кинематически осуществимых движений лишь те, для которых ускорения ослабления каждой из односторонних связей не меньше ускорений их ослабления в действительном движении[26].

Порядок применения обобщённого принципа Гаусса к задачам с односторонними связями Болотов иллюстрирует[27] применительно к задаче о движении весомого однородного стержня, у которого конец   опирается на гладкую горизонтальную плоскость  , а конец   может скользить по линии пересечения двух других гладких плоскостей   и  , перпендикулярных первой плоскости и друг другу. Болотов проводит полный анализ данной задачи и определяет условия, при которых тот или иной конец стержня отрывается от плоскости, на которую он опирался. Данная задача интересна тем, что применительно к ней даёт неверные результаты метод выявления ослабляемой связи, предложенный в 1838 г. М. В. Остроградским в мемуаре «О мгновенных перемещениях систем, подчинённых переменным условиям»[28]; ошибку в рассуждениях Остроградского нашёл в 1889 г. А. Майер[29].

Отметим, что в 1990 г. В. А. Синицын получил[30] ещё одну форму принципа Гаусса, в которой (при надлежащих ограничениях на рассматриваемые кинематически осуществимые движения) допускается освобождение системы не от всех (как у Болотова), а лишь от части односторонних связей[16][31].

Принцип Гаусса в теории удараПравить

Е. А. Болотов показал, что обобщённый принцип Гаусса применим также и к ряду задач теории удара, но эти его результаты носят менее общий характер, причём он ограничивается лишь случаем абсолютно неупругого удара. Иллюстрирует свой метод Болотов на уже упоминавшейся задаче о весомом однородном стержне (предполагая, что к центру масс стержня прикладывается заданный ударный импульс)[32].

ПубликацииПравить

  • Болотов Е. А.  Задача о разложении данного винта на два винта с равными параметрами // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те, Сер. 2. — 1893. — Т. 3.
  • Болотов Е. А.  О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. — 1916. — С. 99—152.

ПримечанияПравить

  1. Клоков, 2009, с. 114—115.
  2. 1 2 Клоков, 2009, с. 115.
  3. Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 40—41.
  4. 1 2 3 Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 41.
  5. Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 42.
  6. Клоков, 2009, с. 114.
  7. Диментберг Ф. М.  Теория винтов и её приложения. — М.: Наука, 1978. — 328 с. — С. 14.
  8. 1 2 3 История механики в России, 1987, с. 297.
  9. Румянцев В. В.  Вариационные принципы классической механики // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 596—603.
  10. Кильчевский, 1977, с. 18.
  11. Дронг В. И., Дубинин В. В., Ильин М. М. и др.  Курс теоретической механики / Под ред. К. С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 758 с. — ISBN 978-5-7038-3490-9.. — С. 526.
  12. Маркеев А. П.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.. — С. 89—90.
  13. Кильчевский, 1977, с. 188.
  14. Mach E.  Die Mechanik in ihren Entstehung historischkritisch dargestellt. — Leipzig, 1883.
  15. Берёзкин, 1974, с. 528.
  16. 1 2 3 4 Маркеев, 2000, с. 43.
  17. Веретенников, Синицын, 2006, с. 256.
  18. Четаев Н. Г.  О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
  19. Берёзкин, 1974, с. 524.
  20. Верещагин А. Ф.  Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л.  Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
  21. Берёзкин, 1974, с. 526—528.
  22. Boltzmann L.  Vorlesungen über die Principien der Mechanik. — Leipzig, 1897.
  23. Веретенников, Синицын, 2006, с. 250—251.
  24. Веретенников, Синицын, 2006, с. 250.
  25. Теоретическая механика. Вывод и анализ…, 1990, с. 61.
  26. Веретенников, Синицын, 2006, с. 253.
  27. Теоретическая механика. Вывод и анализ…, 1990, с. 65—66.
  28. Ostrogradsky M. V.  Mémoire sur les déplacements instantanés des systèmes assujettis à des conditions variables // Mémoires de l'Académie des sciences de St.-Pétersbourg. VI sér., sciences math., phys. et nat., 1, 1838. — P. 565—600.
  29. Погребысский И. Б.  От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1964. — 327 с. — С. 245—246.
  30. Синицын В. А.  О принципе наименьшего принуждения для систем с неудерживающими связями // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. — С. 920—925.
  31. Веретенников, Синицын, 2006, с. 256—258.
  32. Веретенников, Синицын, 2006, с. 267—270.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить