Открыть главное меню

ОпределениеПравить

Евклидово кольцо — область целостности  , для которой определена евклидова функция (евклидова норма)  , такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых   имеется представление  , для которого   или  [1].

Дополнительное ограничениеПравить

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение:   для любых ненулевых   и   из кольца  . Если на   задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

 .

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для   и   делится   на   с остатком:  , где   и  , а так как из определения следует  , получается искомое представление   с  ).

Преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента   имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

ПримерыПравить

  • Кольцо целых чисел  . Пример евклидовой функции — абсолютная величина  .
  • Кольцо целых гауссовых чисел   (где  мнимая единица,  ) с нормой   — евклидово.
  • Произвольное поле   является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
  • Кольцо многочленов в одной переменной   над полем  . Пример евклидовой функции — степень deg.
  • Кольцо формальных степенных рядов   над полем   является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём.
    • Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент.
  • Кольцо функций  , голоморфных на связном компакте   в   (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в  , если они совпадают в некоторой окрестности  ), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на  .
  • Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций  , голоморфных в открытом круге  , является пересечением евклидовых колец функций  , голоморфных на замкнутых кругах  , содержащихся внутри  , однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
  • Кольцо частных   евклидова кольца   по мультипликативной системе   тоже является евклидовым. Нормой дроби   из   принимается:
 
где   — евклидова норма в  , а   — норма в  .
Деление с остатком определяется следующим образом: пусть есть две ненулевые дроби   и   из S−1R. По определению нормы в   существует элементы   в   и   в  , такие, что   и  . Произведя деление с остатком в кольце   элементов   и   , так что  , получается  ; из построения следуют неравенства  .

Алгоритм ЕвклидаПравить

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента   и  , причём   и  . Деление с остатком даёт элемент   с  . Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент  , и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений   с  . Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое натуральное число может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором   остаток   равен нулю, а   не равен, он и есть наибольший общий делитель элементов   и  . Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колецПравить

  • В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
    • Пусть   — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь  , — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент   с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент   в виде   с   получается, что   — тоже элемент идеала   и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у  . Следовательно, идеал   содержится в идеале  . С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент  , содержит идеал  , откуда следует, что   — главный идеал.
  • Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
  • Каждое евклидово кольцо   целозамкнуто, то есть если дробь  , является корнем многочлена   со старшим коэффициентом, равным 1, тогда   делится на  . Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцомПравить

Пусть   — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые  -модули обладают следующими свойствами:

  • Всякий подмодуль   конечнопорождённого  -модуля   конечно порождён (следствие нётеровости кольца  ).
  • Ранг подмодуля   не превосходит ранга модуля   (следствие главности идеалов в   — структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов).
  • Подмодуль свободного  -модуля также свободен.
  • Гомоморфизм   конечнопорождённых  -модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен)   модуля N, образующие (базис)   модуля M, номер   и   — элементы кольца  , такие, что   делит   и при i > k  , а при остальных —  . При этом коэффициенты   определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца  . (В этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца  .)

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

  • Weisstein, Eric W. Евклидово кольцо (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Физматлит, 1962. — 400 с.
  • Родосский К. А. Алгоритм Евклида. — М.: Наука, 1988. — 239 с.
  • J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. — Cambridge University Press, 1999. — 771 p. — ISBN 0-521-82646-2.