Открыть главное меню

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Содержание

ИсторияПравить

Древний ЕгипетПравить

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

 

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

 
     
 
 
 
 

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

 
 
 
 
 
 

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:
 
     
   
   
 

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и СредневековьеПравить

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм ФибоначчиПравить

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь   разлагается на два слагаемых:

 

Здесь   — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а   — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

 

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

 

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

 

Современная теория чиселПравить

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

  • В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более
 
(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более
 
(Vose 1985)
  • Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого
 
Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом[en] в 2003 году.

Открытые проблемыПравить

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенных математических проблем.

 
Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех nN существует разложение
 
Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
  • Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
  • Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
  • Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
  • Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
  • Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43. — С. 173—185.
  • Botts, Truman. A chain reaction process in number theory (неопр.) // Mathematics Magazine. — 1967. — С. 55—65.
  • Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512 (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Vol. 61. — P. 200—201.
  • Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (неопр.) // Janus. — 1957. — Т. 46. — С. 253—263.
  • Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0.
  • Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X.
  • Graham, R. L. On finite sums of reciprocals of distinct nth powers (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Vol. 14, no. 1. — P. 85—92. Архивировано 22 ноября 2009 года. Архивная копия от 22 ноября 2009 на Wayback Machine
  • Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig : S. Hirzel, 1895.
  • Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece (англ.) // Historia Mathematica (англ.) : journal. — 1982. — Vol. 9. — P. 133—171.
  • Lüneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim : B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6.
  • Martin, G. Dense Egyptian fractions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1999. — Vol. 351. — P. 3641—3657.
  • Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8.
  • Robins, Gay; Shute, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6.
  • Stewart, B. M. Sums of distinct divisors (неопр.) // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76. — С. 779—785.
  • Stewart, I. The riddle of the vanishing camel (англ.) // Scientific American. — Springer Nature (англ.), 1992. — No. June. — P. 122—124.
  • Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9.
  • Takenouchi, T. On an indeterminate equation (неопр.) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3. — С. 78—92.
  • Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35. — С. 150—156.
  • Vose, M. Egyptian fractions (неопр.) // London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17. — С. 21.
  • Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–277.

СсылкиПравить