Задача Бюффона о бросании иглы

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачи

Суть метода была в бросании иглы длиной $L$ на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $r$ друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что $r>L$) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

$p=\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{l\sin {\theta }}{\frac {1}{r\pi }}dAd\theta$, где

• $A$ — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
• $\theta$ — угол иглы относительно прямых.

При условии, что $r>L$ получается решение: $p={\frac {2L}{r\pi \,}}$. Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи	Ошибка
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780	−0.03640734
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423	−0.00070734
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416	+0.00000734

Комментарии:

• Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
• В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщения

• Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.

• Формула Крофтона

Литература

• Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. — М.: Радио и связь, 1990. — 142 с.