Третья краевая задача

(перенаправлено с «Задача Робена»)

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена[en] и британского физика Исаака Ньютона.

Постановка задачиПравить

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

  в области  

При граничных условиях следующего вида:

 

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Физическая интерпретацияПравить

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

 

Аналитическое решениеПравить

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

Численное решениеПравить

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

  • В методе конечных разностей строится разностная схема вида  , где   — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
  • В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части[1]:
  — добавка в  -й,  -й элемент матрицы;
  — добавка в  -й элемент правой части.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.
  2. T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Solving Maxwell’s Equations using Ultra Weak Variational Formulation (англ.). — 2006. — С. 46.