Открыть главное меню

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

и значений параметра , при которых такие решения существуют.

Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера),  — вещественный аргумент.

Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на .

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Содержание

Постановка задачиПравить

Вид уравненияПравить

Если функции   и   дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке   и функция   непрерывна на  , то уравнение Штурма — Лиувилля вида

 

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду[1][2]

 

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию   называют потенциалом[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными,   (суммируемыми),   и других.

Виды краевых условийПравить

  • Условия Дирихле  
  • Условия Неймана  
  • Условия Робена  
  • Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка  .
  • Распадающиеся краевые условия общего вида
 
  • Периодические условия  .
  • Антипериодические условия  .
  • Общие краевые условия
 

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты  .[3][5]

Для удобства произвольный отрезок   часто переводят в отрезок   или   с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — ЛиувилляПравить

Оператор Штурма — Лиувилля

 

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора[6]

 

Область определения оператора   состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке   функций  , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора  :  . Если функции   и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор   является самосопряжённым в гильбертовом пространстве  . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом  .

Решение задачиПравить

ПримерПравить

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

 
 

может быть найдено в явном виде[7]. Пусть  . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном   имеет вид

 

(в частности, при   (3) дает  ). Из   следует  . Подставляя (3) в краевое условие  , получаем  . Так как мы ищем нетривиальные решения, то  , и мы приходим к уравнению на собственные значения

 

Его корни  , следовательно, искомые собственные значения имеют вид

 

а соответствующие им собственные функции суть

 

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случайПравить

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

 

представимо в виде линейной комбинации

 

его решений   и  , удовлетворяющих начальным условиям

 .

Решения   и   образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по   при каждом фиксированном  . (При    ,  ,  ). Подставляя (5) в краевые условия  , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

 

аналитической во всей  -плоскости.[4]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

 
 

(в случае непрерывного на   потенциала  ).[8] При больших   собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функцийПравить

  • Существует бесконечное счетное множество собственных значений:  
  • Каждому собственному значению   соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция  .
  • Все собственные значения вещественны.
  • В случае граничных условий   и при выполнении условия   все собственные значения положительны  .
  • Собственные функции   образуют на   ортогональную с весом   систему  :
 

Численные методы решенияПравить

  • Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле  , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями  ,   и вести пристрелку параметра   до выполнения правого краевого условия.[9]
  • Метод конечных разностей[10][11]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
  • Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция   дополняется компонентой  . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.[12]
  • Метод Галёркина.[13]
  • Вариационные методы.[14]

Применение к решению уравнений в частных производныхПравить

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

 
 
 

Здесь   и   — независимые переменные,   — неизвестная функция,  ,  ,  ,  ,   — известные функции,   — вещественные числа.[15] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

 

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

 

Так как   и   — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через  . Получаем

 
 

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

 

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях  , являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12)  . Эти решения имеют вид  , где   — собственные функции задачи (11) — (12),   — решения уравнения (10) при  . Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля  ):

 

Обратные задачи Штурма — ЛиувилляПравить

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала   оператора Штурма — Лиувилля   и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.[8][3][4] Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ( ).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

  1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
  2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве  .
  3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал  . Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.[4]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Левитан, Саргсян, 1988, с. 10.
  2. Юрко, 2010, с. 45.
  3. 1 2 3 Марченко, 1977.
  4. 1 2 3 4 Юрко, 2007.
  5. Наймарк, 1969, с. 72.
  6. Наймарк, 1969.
  7. Юрко, 2010, с. 25.
  8. 1 2 Левитан, Саргсян, 1988.
  9. Калиткин, 1978, с. 281.
  10. Калиткин, 1978, с. 284.
  11. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4.
  12. Калиткин, 1978, с. 286.
  13. Калиткин, 1978, с. 287.
  14. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
  15. Юрко, 2010, с. 30.

ЛитератураПравить

  • Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
  • Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
  • Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
  • Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
  • Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
  • Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.