Открыть главное меню

Задача о вершинном покрытии — NP-полная задача информатики в области теории графов. Часто используется в теории сложности для доказательства NP-полноты более сложных задач.

Содержание

ОпределениеПравить

Вершинное покрытие для неориентированного графа   — это множество его вершин  , такое, что, у каждого ребра графа хотя бы один из концов входит в вершину из  .


Размером (size) вершинного покрытия называется число входящих в него вершин.

Пример: Граф, изображённый справа, имеет вершинное покрытие   размера 4. Однако оно не является наименьшим вершинным покрытием, поскольку существуют вершинные покрытия меньшего размера, такие как   и  .

Задача о вершинном покрытии требует указать минимально возможный размер   вершинного покрытия для заданного графа.

На входе: Граф  .
Результат:   — размер наименьшего вершинного покрытия   графа  .

Также вопрос можно ставить, как эквивалентную задачу о разрешении:

На входе: Граф   и положительное целое число  .
Вопрос: Существует ли вершинное покрытие   для   размера  ?

Задача о вершинном покрытии сходна с задачей о независимом наборе. Множество вершин   является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда его дополнение   является независимым набором.

Это следует из того, что граф с   вершинами имеет вершинное покрытие размера   тогда и только тогда, когда данный граф имеет незавимимый набор размера  . В этом смысле обе проблемы равнозначны.

NP-полнотаПравить

Поскольку задача о вершинном покрытии является NP-полной, то, к сожалению, неизвестны алгоритмы для её решения за полиномиальное время. Однако существуют алгоритмы, дающие «приближённое» решение этой задачи за полиномиальное время — можно найти вершинное покрытие, в котором число вершин не более чем вдвое превосходит минимально возможное.

См. такжеПравить

  • Теорема Кёнига утверждает эквивалентность задач нахождения наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в двудольных графах.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Томас Х. Кормен и др. Глава 36. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 1-е изд. — М.: Московского центра непрерывного математического образования, 2001. — С. 866.