Задача о стопке кирпичей

Задача о стопке кирпичей — задача статики, заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.

Сдвиги девяти блоков «наклонной башни лир»

Формулировка

Проблема формулируется так:

Поставить друг на друга $N$ одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов, собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален.

История

Стопка монет: верхняя монета находится над областью, полностью находящейся вне самой низкой монеты

Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях Майк Патерсон (англ. Mike Paterson) и его соавторы приводят длинный список ссылок на эту задачу, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века.

Решения

С только одним блоком на каждом уровне

В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен $\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}$ ширины блока. Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда. Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный свес стремится к бесконечности с ростом $N$, т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен ${\frac {1}{2}}\ln N$, т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков.

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
1	1	/2	0,5	0.5
2	3	/4	0,75	0.75
3	11	/12	~0,91667	0.91667
4	25	/24	~1,04167	1.04167
5	137	/120	~1,14167	1.14167
6	49	/40	1,225	1.225
7	363	/280	~1,29643	1.29643
8	761	/560	~1,35893	1.35893
9	7 129	/5 040	~1,41448	1.41448
10	7 381	/5 040	~1,46448	1.46448

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
11	83 711	/55 440	~1,50994	1.50994
12	86 021	/55 440	~1,55161	1.55161
13	1 145 993	/720 720	~1,59007	1.59007
14	1 171 733	/720 720	~1,62578	1.62578
15	1 195 757	/720 720	~1,65911	1.65911
16	2 436 559	/1 441 440	~1,69036	1.69036
17	42 142 223	/24 504 480	~1,71978	1.71978
18	14 274 301	/8 168 160	~1,74755	1.74755
19	275 295 799	/155 195 040	~1,77387	1.77387
20	55 835 135	/31 039 008	~1,79887	1.79887

N	Максимальный свес
	дробь		десятичная запись	относительный размер
21	18 858 053	/10 346 336	~1,82268	1.82268
22	19 093 197	/10 346 336	~1,84541	1.84541
23	444 316 699	/237 965 728	~1,86715	1.86715
24	1 347 822 955	/713 897 184	~1,88798	1.88798
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~1,90798	1.90798
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~1,92721	1.92721
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~1,94573	1.94573
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~1,96359	1.96359
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~1,98083	1.98083
30	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~1,99749	1.99749

С несколькими блоками на любом из уровней

Сравнение решений задачи с тремя блоками с одним (сверху) и несколькими (снизу) блоками на уровне

Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более ${\frac {11}{12}}$. В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали, что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен $c{\sqrt[{3}]{N}}$, то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.

См. также

• Черви Патерсона

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Book Stacking Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Building an Infinite Bridge  (неопр.). PBS Infinite Series (4 мая 2017). Дата обращения: 3 сентября 2018.
• Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler, and Uri Zwick. Maximum Overhang // American Mathematical Monthly. — 2009. — Vol. 116. — P. 763–787.