Открыть главное меню
Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

Закон Бернулли[1] (также уравнение Бернулли[2][3], теорема Бернулли[4][5] или интеграл Бернулли[2][6][7]) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии потока давление жидкости возрастает, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости[2] (то есть без вязкости и теплопроводности).

Содержание

ИсторияПравить

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли[K 1]. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году[12].

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкостиПравить

Полное давление
Размерность  
Единицы измерения
СИ Дж3 = Па
СГС эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина   сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

 

Здесь

  — плотность жидкости;
  — скорость потока;
  — высота;
  — давление;
  — ускорение свободного падения.

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление»  , «статическое давление»   и «динамическое давление»  . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).

Вывод формулы Торричелли из закона БернуллиПравить

 
Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

 

где

  — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
  — скорость истечения жидкости,
  — атмосферное давление.

Отсюда:  . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты  . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].

Другие проявления и применения закона БернуллиПравить

 
Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].

Вдоль горизонтальной трубы координата   постоянна и уравнение Бернулли принимает вид  . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].

Применение в гидравликеПравить

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес»  :

 

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор[19]
Размерность  
Единицы измерения
СИ метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.
  — гидравлическая высота[4] или напор[19],
  — нивелирная высота[4],
  — пьезометрическая высота[4] или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор[19],
  — скоростная высота[4] или скоростной напор[19].

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].

Интеграл Бернулли в баротропных теченияхПравить

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления:  , что позволяет ввести функцию давления[22]   В этих предположениях величина

 

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом   заменяется на потенциал массовой силы  .

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости  , интеграл Бернулли в виде  [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].

Формула Сен-Венана — ВанцеляПравить

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон[26]

 

то уравнение Бернулли выражается так[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

  вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
  — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,
  — давление и плотность газа,
  — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за   тогда скорость истечения выражается через внешнее давление   по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:

 

Термодинамика закона БернуллиПравить

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

 

где   — энтальпия единицы массы,   — гравитационный потенциал (равный   для однородной силы тяжести),  энтропия единицы массы.

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбин. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющих удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс) и например давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежат на некоторой вертикальной линии ( ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скорости[31].

Обобщения интеграла БернуллиПравить

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света  , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].

КомментарииПравить

  1. В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости[8][9][10].
  2. «…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»[20].
  3. «Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»[21].
  4. В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как интеграл Коши — Лагранжа[25]

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Ландсберг Г. С. Закон Бернулли, 1985.
  2. 1 2 3 4 Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение, 1988.
  3. Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика, 1933.
  4. 1 2 3 4 5 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24. Теорема Бернулли.
  5. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика, 1964.
  6. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970.
  7. Чёрный Г. Г. Газовая динамика, 1988.
  8. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002.
  9. Михайлов Г. К., 1999, с. 17.
  10. Darrigol O. A history of hydrodynamics, 2005, с. 9.
  11. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002, с. 255, 257.
  12. Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757), с. 331.
  13. 1 2 Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
  14. Чугаев Р. Р. Гидравлика. — Л.: Энергия, 1975. — 600 с.
  15. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §95. Примеры на применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли.
  16. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94, формула (94.6).
  17. Молоканов Ю. К. Процессы и аппараты нефтегазопереработки. — М.: Химия, 1980. — С. 60. — 408 с.
  18. Я. И. Перельман. Отчего притягиваются корабли?. Дата обращения 27 декабря 2018.
  19. 1 2 3 4 5 Напор, 1992.
  20. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, 1973, Примечание Г. Ю. Степанова, с. 208.
  21. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред, 2000, с. 104.
  22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (9).
  23. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (7).
  24. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VIII. §2, уравнение (2.1).
  25. 1 2 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §42. Интеграл Лагранжа — Коши.
  26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (29).
  27. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (30).
  28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (31).
  29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (2.4).
  30. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VII. §2. Функция давления.
  31. Поль Р. В., Механика, акустика и учение о теплоте, 2013, с. 446.
  32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, §85.
  33. Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — DOI:10.1007/BF01051932.
  34. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматлит, 1962. — С. 54. — 248 с.
  35. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В. В. Гогосова. — М.: Мир, 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3.
  36. Зубарев Д. Н., Релятивистская термодинамика, 1994.
  37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (134.11).

ЛитератураПравить

СсылкиПравить