Открыть главное меню

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком[1].

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Содержание

Закон Гука для тонкого стержняПравить

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

 

Здесь   — сила, которой растягивают (сжимают) стержень,   — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а  коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения   и длины  ) явно, записав коэффициент упругости как

 

Величина   называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

 

и нормальное напряжение в поперечном сечении

 

то закон Гука для относительных величин запишется как

 

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

 

Обобщённый закон ГукаПравить

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга   и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора  , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

 

где   — тензор напряжений,   — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор   содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

 
 
 
 
 
 

где  модуль Юнга,  коэффициент Пуассона,  модуль сдвига.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить