Закон дисперсии

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:

.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

.

В простейшем случае линейной связи и эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) или частицы, где постоянная Планка-Дирака.

Волновое уравнение и дисперсияПравить

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношенияПравить

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Примеры для волн различных типовПравить

Дисперсия видимого света в оптикеПравить

 
Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочкеПравить

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой  , расстояние между ними  . Сместим  атом на малое расстояние  . Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

  — волновое число;
  — частота.

С учётом ближайших соседей

 

где

  — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для  -го атома:

 

Пусть решение имеет вид  

Тогда

 

где

 

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электроновПравить

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.