Открыть главное меню
Кривые зависимостей cпектральной плотности излучения абсолютно чёрных тел с различными температурами от длины волны. Видно, что при возрастании температуры максимум спектральной плотности сдвигается в коротковолновую часть спектра. Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на устанавливает зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

Содержание

Общий вид закона смещения ВинаПравить

 

где   — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а   — температура. Коэффициент   (где c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, α ≈ 4,965114… — постоянная величина (корень уравнения  )), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света  герцах) закон смещения Вина имеет вид:

 

где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения  ), k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит  , в другом —  . Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:  , и  

Вывод законаПравить

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

 

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по   и приравнять производную нулю:

 

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда   или когда  , что выполняется при  . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка  , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

 

Используя замену переменных  , данное уравнение можно преобразовать к виду

 

Численное решение этого уравнения даёт:[1]

 

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

 

где температура дана в кельвинах, а   — в метрах.

ПримерыПравить

Согласно закону смещения Вина чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Решение уравнения   невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

ЛитератураПравить

  • B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, " Am. J. Phys. 67 (11), 946—953 1999.
  • M. A. Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322—1323 2003.

СсылкиПравить