Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника. Другие замечательные точки треугольника см. в энциклопедии центров треугольника.

ПримерыПравить

 
Центроид — точка пересечения медиан
 
Ортоцентр — точка пересечения высот

Замечательными точками треугольника являются

Минимаксные точки треугольникаПравить

Минимаксными (экстремальными) точками треугольника называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника[1].

Минимаксными точками треугольника являются:

  • Точка пересечения трёх медиан, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника (теорема Лейбница).
  • Точка пересечения трёх медиан треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведённые через неё три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально[2]
  • Точка Торричелли (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более  .
  • точка Лемуана, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
  • Основания высот остроугольного треугольника образуют ортотреугольник, имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

Изо-точки и изо-прямые треугольникаПравить

Изо-точками являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трёх треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника[3]. В результате образуется фигура типа «глаз дракона» (см. рис.)

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «глаз дракона»Править

 
Глаз дракона

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Трилистник (узел)»Править

 
Трилистник(узел)
 
Стилизованный трилистник (узел)

Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):

  • Центр Шпикера   является точкой пересечений прямых  ,   и  , где  ,   и   подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника   снаружи, имеющие один и тот же угол у основания  [6].
  • Первая точка Наполеона  , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых  ,   и  , где  ,   и   подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника   снаружи, имеющие один и тот же угол у основания  .
  • Здесь надо бы перечислить все точки, лежащие на гиперболе Киперта.

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции»Править

 
Цветок традесканции
 
Стилизованный цветок традесканции

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:

  • точка пересечения медиан образует тремя малыми отрезками чевиан три четырёхугольника с равными площадями.
  • точка пересечения биссектрис образует тремя перпендикулярами к трём сторонам треугольника три четырёхугольника-дельтоида с двумя одинаковыми у всех смежными сторонами. Другая пара равных смежных сторон в общем случае у всех разная. У всех трёх дельтоидов есть пара равных противоположных углов в  . Они — вписанно-описанные четырёхугольники.
  • Три окружности, проведённые внутри треугольника через точку Микеля, пересекают стороны треугольника в трёх точках. Три хорды, проведённые через точку Микеля и три точки пересечения трёх окружностей с тремя разными сторонами треугольника, образуют равные углы со сторонами.

Изо-точки треугольника, образующие знак типа «Модель поверхности криволинейного треугольника» (см. рис.)Править

К числу таких точек относятся:

  • Точки окружности Эйлера
  • Точки в теореме Томсена
  • Точки в теореме Тукера. Если на рис. к теореме Томсена справа ниже проводить аналогичную 6-звенную ломаную, последовательно чередуя отрезки параллельные, антипараллельные, параллельные, снова антипараллельные, снова параллельные противоположной текущей стороне и т. д., тогда последний 6-ой отрезок вернется в исходную точку, как и в теореме Томсена, и ломаная замкнется. Теорема Тукера утверждает, что в этом случае 6 точек ломаной, лежащих на сторонах треугольника, будут лежать на окружности Тукера[7] [8]

Изо-точки треугольника, образующие знак типа «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение» (см. рис.)Править

 
Знак «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение»

Изо-точками треугольника такого типа являются:

  • точка Лемуана (точка равных антипараллелей) — точка обладающая свойством: проведённые через неё три антипараллели (линии, антипараллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
  • точка равных параллелей (Equal Parallelians Point)[9]. В некотором смысле аналогична точке Лемуана. Точка обладает свойством: проведённые через неё три параллели (линии, параллельные трём сторонам треугольника) дают внутри треугольника три отрезка равной длины.
  • Точка конгруэнтности Иффа (англ. Yff Center of Congruence) [10]
  • точка пересечения 3 антибиссектрис треугольника. Если через эту точку провести 3 прямые, параллельные сторонам треугольника, то они отсекут на сторонах треугольника 3 равных внутренних (серединных) отрезка.
  • Другая формулировка последнего утверждения: Отрезки сторон треугольника, заключенные между прямыми, проведёнными через центр антибиссектрис параллельно трем сторонам, равны между собой.

Другие изо-точки треугольника, образующие чевианы общего видаПравить

  • точки Скутина — точки равных чевиан треугольника. Теорема Скутина утверждает, что три отрезка прямых или чевианы, проведённые внутри треугольника через три его вершины и через любой фокус описанного эллипса Штейнера, равны между собой. Эти фокусы часто называют точками Скутина.

Изо-прямыеПравить

Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры[3]. Изо-прямыми треугольника являются:

  • Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
  • Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
  • Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
  • Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
  • Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре Шпикера.
  • Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведённые из трёх его вершин, пересекаются в точке Нагеля. Иными словами, этот отрезок есть чевиана точки Нагеля. (Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер).
  • Эквалайзер (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных площадей и периметров[11]
  • Немного об эквалайзере (equalizer). Любая прямая (эквалайзер), проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.[12]

Замечание об изо-прямых треугольникаПравить

В английской литературе вводится понятие бисекции (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

Прямые  Править

Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые прямые   треугольника. Прямая   треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении  -х степеней прилежащих к ней двух сторон[13]. Важными частными случаями прямых   являются:

Для прямых   треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой   изогонально сопряжённой будет прямая  , а изотомически сопряжённой будет прямая  .

ЗамечаниеПравить

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и трилинейные координаты центра, очень просто связанные с барицентрическими координатами. Однако, например, изогонально сопряжённые точки в трилинейных координатах выражаются проще.

Вариации и обобщенияПравить

  • Рассматривают пары центров. Например,
    • точки Брокара;
    • Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника   можно построить окружность Аполлония к стороне  , проходящую через точку  . Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

Недавно открытые точки (центры) треугольникаПравить

ПримечанияПравить

  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии. // Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург : сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). — СПб., 2016. — С. 97.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 12, задача.
  3. 1 2 Стариков В. Н. Заметки по геометрии (рус.) // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки : сборник научных трудов. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — С. 37, левая колонка, последний абзац.
  4. Isoperimetric Point and Equal Detour Point (англ.).
  5. Odenhal, 2010, с. 35—40.
  6. Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. с. 92. параграф 74.
  8. Мякишев А. Г. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Архимед: научно-методический сборник. 2011. Вып. 7. с. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
  9. Equal Parallelians Point (англ.).
  10. Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence
  11. Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers, Mathematics Magazine Т. 83 (2): 141–146, DOI 10.4169/002557010X482916 .
  12. Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141—146..
  13. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2 изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 120—125, задача, параграфы 109—113.
  14. Yff Center Of Congruence
  15. Gossard Perspector
  16. Mittenpunkt
  17. 1ST AND 2ND AJIMA-MALFATTI POINTS
  18. Apollonius Point
  19. Bailey Point
  20. Hofstadter Points
  21. Congruent Isoscelizers Point
  22. Morley Centers
  23. Parry Point
  24. Isoperimetric Point And Equal Detour Point
  25. Equal Parallelians Point
  26. Schiffler Point
  27. Exeter Point
  28. Стариков В.Н. 9-е исследование по геометрии (§ Решение задачи о чевиане, разбивающей 3-к на 2 3-ка с одинаковыми вписанными окружностями)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ "Наука и образование". 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/ view/1603

ЛитератураПравить

  • Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.: ил.
  • А. Г. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

СсылкиПравить