Замкнутое множество

(перенаправлено с «Замкнутое подмножество»)

За́мкнутое мно́жество — подмножество топологического пространства с топологией , дополнение к которому открыто: .

Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .

Замыкание множества топологического пространства  — минимальное по включению замкнутое множество , содержащее . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве   содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества [1].

ПримечанияПравить

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

ЛитератураПравить

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.