Замыкание (алгебра)

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть — подмножество носителя некоторой алгебры . Тогда замыканием множества относительно сигнатуры называется минимальная подалгебра , содержащая ().

Примеры:

  • Замыканием множества относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел .
  • Замыканием множества относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел ,
  • Замыкание множества относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

См. такжеПравить