Заряд (теория меры)

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой $\sigma$-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.

Множество всех зарядов над произвольным множеством $X$ c сигма-алгеброй $\Sigma$ принято обозначать $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$.

Связанные определения

• Положительный заряд $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ называется чисто конечно аддитивным, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры $\mu$ из $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ вытекает, что $\mu =0$.
  • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды $\nu ^{+}$ и $\nu ^{-}$.
• Заряд $\lambda$ абсолютно непрерывен относительно меры $\mu$, если $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Свойства

• Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, $K$-пространство.
• Для любого заряда $\nu$ имеется положительная часть $\nu ^{+}\geqslant 0$ и отрицательная часть $\nu ^{-}\leqslant 0$. Имеет место разложение Хана — Жордана $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
• Пусть $\mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$.
  Любой заряд $\nu$ единственным образом представим в виде суммы $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$, где $\nu _{1}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ и $\nu _{2}$ дизъюнктна $\mu$. Такое представление меры $\nu$ принято назвать разложением по Лебегу.
• Любой заряд $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ единственным образом представим в виде суммы $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$, где $\nu _{ca}$ — произвольная счётно-аддитивная мера, а $\nu _{pfa}$ — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
• Пространство $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).

См. также

• Теорема Хана о разложении

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
• Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966.
• Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — М., 1953.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
• Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.