Открыть главное меню
Затухающие колебания пружинного маятника

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Затухающие колебания пружинного маятникаПравить

 
Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

 

где   — сила сопротивления,   — сила упругости

 ,  , то есть
 

или в дифференциальной форме

 

где   — коэффициент упругости в законе Гука,   — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:  

Величину   называют собственной частотой системы,   — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

 

Сделав замену  , получают характеристическое уравнение

 

Корни которого вычисляются по следующей формуле

 

РешенияПравить

 
Зависимость графиков колебаний от значения  .

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

  • Апериодичность

Если  , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

 

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

  • Граница апериодичности

Если  , два действительных корня совпадают  , и решением уравнения является:

 

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

  • Слабое затухание

Если  , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

 

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

 

Где   — собственная частота затухающих колебаний.

Константы   и   в каждом из случаев определяются из начальных условий:  

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.