Зацепление (теория узлов)

Зацепление кратности $\mu$ — вложение (чаще — его образ) несвязной суммы $\mu$ экземпляров окружности в $\mathbb {R} ^{3}$ или $S^{3}$.

Кольца Борромео
Обозначение= L6a4
Число нитей = 3
Длина косы= 6
Число пересечений= 6
Гиперболический объём= 7.327724753
Класс= гиперболический

Зацепление Хопфа, в котором кольца соединены лентой и являются её краями.

Трилистник, сцепленный с кругом.

Зацепление кратности $\mu =1$ называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.

Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления $L$, называется его частичным зацеплением.

Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в $S^{3}$ двумерной сферой.

Некоторые типы зацеплений

• Зацепление «$0,\;0,\;\ldots ,\;0$», лежащее в плоскости в $\mathbb {R} ^{3}$, называется тривиальным.
• Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
• Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в $\mathbb {R} ^{3}$ приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
• Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в $\mathbb {R} ^{3}$ замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
• Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла $k$. Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.

Задание зацеплений

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из $2n$ нитей соединить вверху и внизу по $n$ пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое $2n$-сплетением.

Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями $\Pi _{1}$ и $\Pi _{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ взять $2m$ ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно $m$ дугами в $\Pi _{1}$ и $m$ дугами в $\Pi _{2}$ без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с $m$ мостами.

Примеры зацеплений

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

• Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами , состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа.

Узел Соломона
Число нитей = 4
Длина косы= 8
Число пересечений= 4
Число распутывания =2
ab-нотация =42
1
Гиперболический объём= 0
альтернирующий

• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
• Кольца Борромео — это зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.

Литература

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
• Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
• H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — doi:10.1142/S0218216504003524.
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — doi:10.1112/jtopol/jtp028.
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures. (англ.)
• Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.