Зацепление (теория узлов)
Зацепление кратности — вложение (чаще — его образ) несвязной суммы экземпляров окружности в или .
Зацепление кратности называется узлом.
Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.
Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.
Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления , называется его частичным зацеплением.
Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в двумерной сферой.
Некоторые типы зацеплений
править- Зацепление «», лежащее в плоскости в , называется тривиальным.
- Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
- Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
- Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
- Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла . Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.
Задание зацеплений
правитьОбычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из нитей соединить вверху и внизу по пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое -сплетением.
Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями и в взять ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно дугами в и дугами в без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с мостами.
Примеры зацеплений
править- Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами [1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].
- Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
- Кольца Борромео[4] — это зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.
Примечания
править- ↑ Adams, 2004, с. 151.
- ↑ Kusner, Sullivan, 1998, с. 67–78.
- ↑ Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
- ↑ Название возникло из герба семьи Борромео, на котором эти кольца присутствуют.
Литература
править- Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
- P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
- C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
- Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
- Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
- Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
- Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
- Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
- Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
- Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
- Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
- Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
- Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
- H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
- Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — doi:10.1142/S0218216504003524.
- Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — doi:10.1112/jtopol/jtp028.
- Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
- Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
- Birman J.S. Braids, knots and contact structures. (англ.)
- Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.