Игра с неполной информацией

Байесовская игра (англ. Bayesian game) или игра с неполной информацией (англ. incomplete information game) в теории игр характеризуются неполнотой информации о соперниках (их возможных стратегиях и выигрышах), при этом у игроков есть веры относительно этой неопределённости. Байесовскую игру можно преобразовать в игру полной, но несовершенной информации, если принять допущение об общем априорном распределении. В отличие от неполной информации, несовершенная информация включает знание стратегий и выигрышей соперников, но история игры (предыдущей действия оппонентов) доступна не всем участникам.

Джон Харсаньи описал байесовские игры следующим образом[1]. В дополнение к фактическим участникам игры появляется виртуальный игрок «Природа». Природа наделяет каждого из фактических участников случайной переменной, значения которой называются типами. Распределение (плотность или функция вероятности) типов для каждого из игроков известно. В начале игры природа «выбирает» типы игроков. Тип, в частности, определяет функцию выигрыша участника. Таким образом, неполнота информации в байесовской игре — незнание по крайней мере одним игроком типа некого другого участника. Игроки обладают верами относительно типов соперников; вера — вероятностное распределение на множестве возможных типов. В процессе игры веры обновляются в соответствии с теоремой Байеса.

Содержание

ОпределениеПравить

Игра определяется так:  , где

  1.   — множество игроков.
  2.   — множество состояний природы. Пример состояния природы: порядок колоды в карточной игре.
  3.   — множество действий игрока  . Пусть  .
  4.   — множество типов игрока  . Тип определяется по правилу  .
  5.   определяет доступные действия для игрока  , обладающего неким типом в  .
  6.   функция выигрыша игрока  . Более формально, пусть  , и  .
  7.   распределение вероятности на   для каждого игрока  , то есть каждый игрок по-разному оценивает вероятности состояний природы; в течение игры они его не знают.

Чистая стратегия   должна удовлетворять   для всех  . Стратегия каждого игрока зависит только от его типа, так как типы других игроков для него скрыты. Ожидаемый выигрыш игрока   при данном стратегическом профиле равен  .

Пусть   — множество чистых стратегий,  

Байесовское равновесие игры   определяется как равновесие Нэша (возможно, в смешанных стратегиях) игры  . Если игра   конечна, байесовское равновесие существует всегда.

ПримерыПравить

Дилемма шерифаПравить

Шериф сталкивается с подозреваемым. Оба должны одновременно принять решение о том, следует ли стрелять.

Подозреваемый имеет два возможных типа: «преступник» и «законопослушный». У шерифа есть только один тип. Подозреваемому известен его тип, шерифу же он неведом. Таким образом, в игре присутствует неполная информация, она относится к классу байесовских. По мнению шерифа, с вероятностью p подозреваемый является преступником, с вероятностью 1-p — законопослушным гражданином. Величины p и 1-p известны обоим игрокам, поскольку делается допущение об общем априорном распределении. Именно оно позволяет преобразовать эту игру в игру полной, но несовершенной информации.

Шериф предпочёл бы стрелять, если стреляет подозреваемый, и избежать стрельбы в противном случае (даже если подозреваемый действительно является преступником). Преступник склонен стрелять (даже если шериф не стреляет), в то время как законопослушный гражданин хочет избежать конфликта любым образом (даже если шериф стреляет). Матрицы выигрышей зависит от типа подозреваемого:

 
Тип = «Законопослушный» Действие шерифа
Стрелять Не стрелять
Действие подозреваемого Стрелять -3, -1 -1, -2
Не стрелять -2, -1 0, 0
 
Тип = «Преступник» Действие шерифа
Стрелять Не стрелять
Действие подозреваемого Стрелять 0, 0 2, -2
Не стрелять -2, -1 -1,1

Если оба имеется общее знание о рациональности игроков (игрок 1 рационален; игрок 1 знает, что игрок 2 рационален; игрок 1 знает, что игрок 2, знает, что игрок 1 рационален и т.д. до бесконечности) игра пройдёт по следующему равновесному (совершенное байесовское равновесие) сценарию[2][3]:

Когда подозреваемый имеет тип «законопослушный», доминирующая стратегия для него — не стрелять, когда же он имеет тип «преступник», доминирующая стратегия предписывает ему стрелять. Сильно доминируемые стратегии можно исключить из рассмотрения. Тогда если шериф стреляет, он получает 0 с вероятностью p и -1 с вероятностью 1-p. Его ожидаемый выигрыш составляет p-1. Если шериф не стреляет, ему полагается -2 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p; ожидаемый выигрыш равен -2p. Шериф всегда будет стрелять при условии p-1 > -2p, то есть когда p > 1/3.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Harsanyi, John C., 1967/1968. "Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players, I-III." Management Science 14 (3): 159-183 (Part I), 14 (5): 320-334 (Part II), 14 (7): 486-502 (Part III).
  2. Coursera (англ.). Coursera.
  3. Hu, Yuhuang (2014-03-17). «A Generalized Quantum-Inspired Decision Making Model for Intelligent Agent». The Scientific World Journal 2014. DOI:10.1155/2014/240983. ISSN 1537-744X. PMID 24778580.

ЛитератураПравить