Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, англ. PDDI, perfect digit-to-digit invariant) (известен также под именем число Мюнхаузена) — это натуральное число, равное сумме цифр, каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.

$n=d_{k}^{d_{k}}+d_{k-1}^{d_{k-1}}+\dots +d_{2}^{d_{2}}+d_{1}^{d_{1}}\,.$

0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 0⁰ = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 (последовательность A046253 в OEIS). Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 0⁰ = 0, но это стандартное соглашение в этой области.

$3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435$

$4^{4}+3^{3}+8^{8}+5^{5}+7^{7}+9^{9}+0^{0}+8^{8}+8^{8}$

$=256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088$

Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:

Пусть дано основание $b$. Любой ИЦИ $n$ по основанию $b$ равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна $a(b-1)^{b-1}$, где $a$ — число цифр в $n$, поскольку $b-1$ является наибольшей возможной цифрой по основанию $b$. Тогда,

$a(b-1)^{b-1}\geq n\geq b^{a-1}.$

Выражение $a(b-1)^{b-1}$ растёт линейно от $a$, а выражение $b^{a-1}$ растёт экспоненциально от $a$. Так что существует некоторое число $k>0$, такое, что

$\forall a\geq k,\,\,a(b-1)^{b-1}<b^{a-1}.$

Существует конечное число натуральных чисел $n$, имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел $n$, удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию $b$.

Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.

По всем основаниям 1 является ИЦИ.
По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 12₃ и 22₃. (5₁₀ и 8₁₀)
По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 131₄ и 313₄ (29₁₀ и 55₁₀)
По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 22352₆ и 23452₆ (3164₁₀ и 3416₁₀)
По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 13454₇ (3665₁₀)
По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 31₉, 156262₉ и 1656547₉ (28₁₀, 96446₁₀ и 923362₁₀)

При соглашении $0^{0}=0$ следующие числа являются ИЦИ

По всем основаниям 0 является ИЦИ.
По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 130₄ (28₁₀)
По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 103₅ и 2024₅ (28₁₀ и 264₁₀)
По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 400₈ и 401₈ (256₁₀ и 257₁₀)
По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 30₉, 1647063₉ и 34664084₉ (27₁₀, 917.139₁₀ и 16.871.323₁₀)

Ссылки

• Parker, Matt 3435 – Matt's Ex  (неопр.). Numberphile. Brady Haran. Дата обращения: 18 апреля 2017. Архивировано из оригинала 13 апреля 2017 года.