Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая -алгебра его подмножеств. [1]

Основные сведенияПравить

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство  , в котором выбрана   - алгебра  , порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная   - алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской   - алгеброй пространства X; при этом множества   называются борелевскими.

Измеримое пространство   называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств  , отделяющая точки пространства   и порождающая соответствующую   - алгебру  . Говорят, что система множеств  , отделяет точки пространства  , если для любых   найдутся непересекающиеся множества   такие, что  .

Произведением измеримых пространств   и   называется измеримое пространство  ,  , в котором   - алгебра  , порождена произведением   - алгебр   и  , т.е.   порождается полукольцом   всевозможных прямоугольных множеств вида  , где  ,  .

Пусть   — некоторое измеримое пространство, а  — конечное множество индексов  . Измеримое пространство  , где   является  - кратным произведением пространства само на себя, а   - алгебра   есть  - кратное произведение соответствующих   - алгебр  , называется измеримым координатным пространством. Точки   этого пространства   задаются координатами  . Если   произвольное множество, то координатное пространство   определяется как совокупность всех функций   на множестве   со значениями в пространстве   ( отдельные значения   можно интерпретировать как координаты точки  , принадлежащей пространству  ).

Пусть   - произвольные точки множества  , где  - конечное число, и   - произвольные подмножества пространства  . Множество вида

 ,

принадлежащие пространству  , называется цилиндрическим множеством в  . Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек  , координаты которых   входит в соответствующие множества  . Система всех цилиндрических множеств, для которых   входят в   - алгебру   пространства  , представляют собой полукольцо  . Измеримым координатным пространством  называется пространство   с   - алгеброй  , порождённой полукольцом  .

Пусть  ,    - алгебра, порождённая полукольцом   всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами  . Если точка   пространства   входит во множество   из   и другая точка   такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают:   при всех  , то   также входит в  . Всякое множество A из   - алгебры   принадлежит одновременно некоторой   - алгебры  , где  - некоторое счётное множество ( зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть   - функция на измеримом пространстве   со значениями в произвольном пространстве  . Совокупность   всех множеств   таких, что прообразы   входят в  -алгебру   пространства   является  -алгеброй.

Пусть   произвольное пространство и   - функция на   со значениями в измеримом пространстве  . Совокупность   всех множеств   являющихся прообразами   из   - алгебры  :   является  -алгеброй.

Пусть  ,   — измеримые пространства. Функция   называется (  ) измеримой, если для   прообраз   входит в  -алгебру  . Если   некоторая система множеств, порождающая  -алгебру  , то функция   является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого   прообраз   входит в  .

ПримечаниеПравить

  1. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.