Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая -алгебра его подмножеств.[1]

Основные сведения править

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство  , в котором выбрана   — алгебра  , порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная   — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской   — алгеброй пространства X; при этом множества   называются борелевскими.

Измеримое пространство   называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств  , отделяющая точки пространства   и порождающая соответствующую   — алгебру  . Говорят, что система множеств  , отделяет точки пространства  , если для любых   найдутся непересекающиеся множества   такие, что  .

Произведением измеримых пространств   и   называется измеримое пространство  ,  , в котором   — алгебра  , порождена произведением   — алгебр   и  , то есть   порождается полукольцом   всевозможных прямоугольных множеств вида  , где  ,  .

Пусть   — некоторое измеримое пространство, а  конечное множество индексов  . Измеримое пространство  , где   является  - кратным произведением пространства само на себя, а   — алгебра   есть  - кратное произведение соответствующих   — алгебр  , называется измеримым координатным пространством. Точки   этого пространства   задаются координатами  . Если   произвольное множество, то координатное пространство   определяется как совокупность всех функций   на множестве   со значениями в пространстве   (отдельные значения   можно интерпретировать как координаты точки  , принадлежащей пространству  ).

Пусть   — произвольные точки множества  , где  - конечное число, и   — произвольные подмножества пространства  . Множество вида

 ,

принадлежащие пространству  , называется цилиндрическим множеством в  . Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек  , координаты которых   входит в соответствующие множества  . Система всех цилиндрических множеств, для которых   входят в   — алгебру   пространства  , представляют собой полукольцо  . Измеримым координатным пространством  называется пространство   с   — алгеброй  , порождённой полукольцом  .

Пусть  ,   —   — алгебра, порождённая полукольцом   всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами  . Если точка   пространства   входит во множество   из   и другая точка   такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают:   при всех  , то   также входит в  . Всякое множество A из   — алгебры   принадлежит одновременно некоторой   — алгебры  , где  - некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть   — функция на измеримом пространстве   со значениями в произвольном пространстве  . Совокупность   всех множеств   таких, что прообразы   входят в  -алгебру   пространства   является  -алгеброй.

Пусть   произвольное пространство и   — функция на   со значениями в измеримом пространстве  . Совокупность   всех множеств   являющихся прообразами   из   — алгебры  :   является  -алгеброй.

Пусть  ,   — измеримые пространства. Функция   называется ( ) измеримой, если для   прообраз   входит в  -алгебру  . Если   некоторая система множеств, порождающая  -алгебру  , то функция   является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого   прообраз   входит в  .

Примечание править

  1. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.