Изотомическое сопряжение

В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.

ОпределениеПравить

Пусть дан треугольник  , у которого   — середина стороны  ,   — середина   и   — середина стороны  . Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка  , не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые  ,   и  . Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках  ,   и   (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы,  . Если теперь точки  ,   и   симметрично отразить относительно  ,   и   соответственно, получатся точки  ,   и   (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку  ,   и так же для остальных пар точек, получаем   и, согласно той же теореме Чевы, прямые  ,   и   пересекаются в одной точке  . Эта точка называется изотомически сопряжённой точке   относительно треугольника  .

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми  ,   и  . На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой   соответствует вершина   (и наоборот, вершине   — всякая точка  ) и так далее.

КоординатыПравить

Если барицентрические координаты точки   суть  , то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки   суть  .

Если трилинейные координаты точки   суть  , то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки   суть  .

Другое определениеПравить

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

СвойстваПравить

  • Изотомическое сопряжение является симметрией, то есть его квадрат тривиален.
  • Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника   и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
  • Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
  • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
  • Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
  • Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.

См. такжеПравить

СсылкиПравить