Изотопия — это гомотопия , для которой при любом отображение является гомеоморфизмом на .

ОпределениеПравить

Изотопия многообразия   — гладкое отображение   такое, что каждое   является диффеоморфизмом, где   и   не зависит от   в некоторых окрестностях 0 и 1 ( тождественное отображение).

Изотопия   называется эквивариантной, если оно коммутирует с действием группы. Точнее если   где   Предполагается, что группа   гладко действует на  .

Множество   является замкнутым инвариантным подпространством многообразия   (подпространством эквивариантности изотопии  ).

Связанные определенияПравить

  • Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии   называется изотопия пространства   такая, что  
  • Два вложения   называются изотопными если существует накрывающая изотопия  , для которой  .
  • Пространства   и   называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения   такие, что композиции   и   изотопны тождественным отображениям.
    • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например  -мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
    • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

СвойстваПравить

  • Изотопия является отношением эквивалентности.
  • Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
  • Существуют диффеоморфизмы сферы   на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности  .