Икосододекаэдр

Икосододека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

Икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
Элементы
32 грани
60 рёбер
30 вершин
Χ = 2
Грани 20 треугольников
12 пятиугольников
Конфигурация вершины 3.5.3.5
Двойственный многогранник ромботриаконтаэдр
Классификация
Обозначения aD
Символ Шлефли r{3,5}
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен

Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

В координатахПравить

Икосододекаэдр с длиной ребра   можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

  •  
  •  

где   — отношение золотого сечения.

Начало координат   будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристикиПравить

Если икосододекаэдр имеет ребро длины  , его площадь поверхности и объём выражаются как

 
 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром   (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

 

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит   и равно

 

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить