Открыть главное меню

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация
Не больше, IMPLY
Venn1011.svg
Диаграмма Венна
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль Элемент - нет обозначения.PNG
Нормальные формы
Дизъюнктивная
Конъюнктивная
Полином Жегалкина
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0 Нет
Сохраняет 1 Да
Монотонна Нет
Линейна Нет
Самодвойственна Нет

Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4].

Содержание

Булева логикаПравить

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества  . Результат также принадлежит множеству  . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений   может использоваться любая другая пара подходящих символов, например   или   или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация   это сокращённая запись для выражения  .

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.), материальный кондиционал (англ.))

     
     
     
     
     
  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если  , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.) (от b к a,  )

     
     
     
     
     
  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если  , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

     
     
     
     
     
  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если  , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.) ( ), разряд займа в двоичном полувычитателе.

     
     
     
     
     
  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если  , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языкеПравить

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдет Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А

Многозначная логикаПравить

Теория множествПравить

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом  , и ей соответствует вложение множеств: пусть  , тогда

 

Например, если   — множество всех квадратов, а   — множество прямоугольников, то, конечно,   и

(a — квадрат)   (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логикаПравить

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации   формуле   (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле  , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Интуиционистская логикаПравить

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде  , где   — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмовПравить

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

ПрограммированиеПравить

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

 if (выражение A) {
    if (выражение B) {
       сделать_что-то_полезное
    } else {
       сбой
    }
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

 if (выражение A) and (выражение B) {
    сделать_что-то_полезное
 }

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder)[прояснить] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.

 //выражение A - ложно
 if (выражение A) {
    // Дальше проверка не идёт
    ... if (выражение B) {
       сделать_что-то_полезное
    } ...
 }

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
  • Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.