Открыть главное меню

Инверсия (геометрия)

Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

ОпределениеПравить

 
Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность   с центром   (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом  . Инверсия точки   относительно   есть точка  , лежащая на луче   такая, что

 

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку»   и считают её инверсным образом  , а   — инверсным образом  . В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

СвойстваПравить

 
Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности   с центром O обладает следующими основными свойствами:

  • Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
  • Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
  • Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
  • Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
  • Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
 
 

ЗамечаниеПравить

  • В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
  • В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности  , если она проходит через центр последней.

ПостроениеПравить

 
Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[1]:

  • Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
  • Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
  • Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представленияПравить

Декартовы координатыПравить

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

 .

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой  , то это выражение можно представить в виде

 ,

где   — комплексно сопряжённое число для  . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке   и радиусом   задаётся соотношением

 .

Полярные координатыПравить

Инверсия относительно окружности радиуса   с центром в начале координат задаётся соотношением

 .

ПриложенияПравить

Вариации и обобщенияПравить

Инверсия относительно конического сеченияПравить

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина   будет (переменным) расстоянием от центра   соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой  .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка   между асимптотами, возможен случай, когда прямая   не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления   берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка   не лежит на асимптоте), а соответствующая величина   берётся со знаком минус, то есть луч   направляется в сторону, противоположную лучу  .

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения   как середина хорды, высекаемой полярой точки   относительно   на  . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает  , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть   — это такая точка, что   является серединой хорды, высекаемой полярой   на  ), что не всегда удобно.

ПримечанияПравить

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.
  2. Жижилкин, 2009.
  3. Курант, 2000.
  4. §124 «Геометрии» А. Ю. Давидова.

СсылкиПравить