Открыть главное меню
График функции

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом .

Содержание

Определение на множестве вещественных чиселПравить

Наиболее распространено следующее определение   (см. график):

 

где   есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определениеПравить

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]

 

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от  , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку  , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно  . Таким образом, функция   является многозначной, а особая точка   является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией  , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном  ) кратно  .

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение)  , соответствующую главной ветви   в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для   (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции  . Фиксируем также и главную ветвь аргумента:   и далее будем считать, что   — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение при вычислении интеграловПравить

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию   и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что  )

 

Из (2) следует, что при вещественных значениях   и  

 

где   есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:

 

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию   обозначают символом  , что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

 

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов   и  . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2)  ] символа  .

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра  :

 

Формулу (3) для   и   можно получить, положив   в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений   и при условии, что для функции   используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа   вместо  ) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения : []. — 2. — 1963.
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.