Интегральная теорема Коши

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

ТеоремаПравить

Пусть   — область, а функция   голоморфна в   и непрерывна в замыкании  . Тогда для некоторой односвязной области   и для любой замкнутой жордановой кривой   справедливо соотношение  

ДоказательствоПравить

Приведем доказательство, когда область   односвязна, а производная   непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма   замкнута. Пусть теперь   — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции  , ограничивающий область  . Тогда по теореме Стокса имеем:

 

ОбобщениеПравить

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы  . Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу  , то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка  , в достаточно малой окрестности которой  .

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

ПрочееПравить

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.