Интегральное уравнение

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Классификация интегральных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)$

где $\varphi (x)$ — искомая функция, $f(x)$, $K(x,\;s)$ — известные функции, $\lambda$ — параметр. Функция $K(x,\;s)$ называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.

Уравнения Фредгольма

Основная статья: Интегральное уравнение Фредгольма

Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).$

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])$, либо удовлетворять условиям:

$\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .$

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если $f(x)\equiv 0$ на $[a,\;b]$, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

$\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),$

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерры

Основная статья: Интегральное уравнение Вольтерры

Уравнения Вольтерры 2-го рода

Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.$

Уравнения Вольтерры 1-го рода

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

$\int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).$

В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

${\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}$

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона

Основная статья: Интегральное уравнение Урысона

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).$

Постоянная $M$ — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна

Основная статья: Интегральное уравнение Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,$

где $K(x,\;s)$ — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots$

Нелинейное уравнение Вольтерры

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,$

где функция $F(x,\;s,\;\varphi )$ непрерывна по совокупности своих переменных.

Методы решения

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений, не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

$\int \limits _{0}^{x}f(x-t)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),$

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

$\varphi (x)=f(x)+\int \limits _{0}^{x}K(x-s)\varphi (s)\,ds.$

Например, дано такое уравнение:

$\varphi (x)=\sin x+2\int \limits _{0}^{x}\cos(x-s)\varphi (s)\,ds.$

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

$\varphi (x)\risingdotseq \Phi (p),$

$\Phi (p)={\frac {1}{1+p^{2}}}+2{\frac {p}{1+p^{2}}}\Phi (p)\Rightarrow \Phi (p)={\frac {1}{(p-1)^{2}}}.$

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

$\varphi (x)={\underset {p=1}{\mathrm {res} }}\,{\frac {1}{(p-1)^{2}}}e^{px}=(e^{px})'_{p}{\Big |}_{p=1}=xe^{x}.$

Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

$|\lambda ||b-a|\max _{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.$

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

$\varphi (x)=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),$

который и является решением уравнения. $(K^{k}f)(x)$ — $k$-ая степень интегрального оператора $(Kf)(x)$:

$(Kf)(x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)f(s)\,ds.$

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых $|\lambda |$.

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях $|\lambda |$, а не только при малых.

Метод резольвент

Основная статья: Резольвента интегрального уравнения

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

${\begin{aligned}K_{0}(x,\;t)=K(x,\;t),\\K_{1}(t,\;s)=K(t,\;s),\end{aligned}}$

то повторными ядрами ядра $K(x,\;s)$ будут ядра $K_{p}(x,\;s)$:

$K_{p}(x,\;s)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.$

Ряд, составленный из повторных ядер,

${\mathcal {R}}(x,\;s,\;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}K_{k+1}(x,\;s),$

называется резольвентой ядра $K(x,\;s)$ и является регулярно сходящимся при $a\leqslant x$, $s\leqslant b$ и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}{\mathcal {R}}(x,\;s,\;\lambda )f(s)\,ds.$

Например, для интегрального уравнения

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{0}^{1}xs\varphi (s)\,ds$

повторными будут следующие ядра:

$K_{0}(x,\;s)=xs,$

$K_{1}(x,\;t)=xt,$

$K_{2}(x,\;t)=\int \limits _{0}^{1}xs\,st\,ds={\frac {xt}{3}},$

$K_{3}(x,\;t)=\int \limits _{0}^{1}xs{\frac {st}{3}}\,ds={\frac {xt}{9}},$

$\ldots$

$K_{n+1}={\frac {xt}{3^{n}}},$

а резольвентой — функция

${\mathcal {R}}(x,\;t,\;\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}{\frac {xt}{3^{n}}}=xt{\frac {1}{1-{\dfrac {\lambda }{3}}}}={\frac {3xt}{3-\lambda }}.$

Тогда решение уравнения находится по формуле:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{0}^{1}{\frac {3xt}{3-\lambda }}f(t)\,dt.$

Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть $K(x,\;s)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(s)$, само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

$\varphi (x)=\lambda \sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)\int \limits _{a}^{b}g_{i}(s)\varphi (s)\,ds+f(x)=\lambda \sum _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),$

где $c_{i}=\int \limits _{a}^{b}\varphi (s)g_{i}(s)\,ds$. Умножив предыдущее равенство на $g_{i}(x)$ и проинтегрировав его по $x$ на отрезке $[a,\;b]$, приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел $c_{i}$:

$c_{i}=\lambda \sum _{k=0}^{N}a_{ik}c_{k}+b_{i},\qquad i=1,\;\ldots ,\;N,$

где $a_{ik}=\int \limits _{a}^{b}g_{i}(x)f_{k}(x)\,dx$ и $b_{i}=\int \limits _{a}^{b}g_{i}(x)f(x)\,dx$ — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции $K(x,\;s)$.

Замена интеграла конечной суммой

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: $\varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt=f(x)$, где $K(x,t)$ и $f(x)$ имеют непрерывные производные нужного порядка, $\lambda$ - заданное число. Используем квадратурную формулу: $\int _{a}^{b}\Phi (x)dx\approx \sum _{k=1}^{n}A_{k}\Phi (x_{k})$, где $x_{1},x_{2},...x_{n}$ - точки на отрезке $[a,b]$, а коэффициенты $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ не зависят от вида функции $\Phi (x)$. Рассмотрим исходное уравнение в точках $x_{k}$: $\varphi (x_{k})-\lambda \int _{a}^{b}K(x_{k},t)\varphi (t)dt=f(x_{k})$. Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: $\varphi (x_{k})-\lambda \sum _{m=1}^{n}K(x_{k},x_{m})\varphi (x_{m})=f(x_{k})$. Получаем линейную систему $n$ алгебраических уравнений с $n$ неизвестными $\varphi (x_{1}),\varphi (x_{2}),...\varphi (x_{n})$, которые являются приближёнными значениями решения $\varphi (x)$ в точках $x_{1},x_{2},...x_{n}$. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: ${\overline {\varphi (x)}}=\lambda \sum _{m=1}^{n}A_{m}K(x,x_{m})\varphi (x_{m})$.

Приложения

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье

Основная статья: Преобразование Фурье

Задача состоит в нахождении неизвестной функции $f(y)$ по известной функции $g(x)$:

$g(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{ixy}f(y)\,dy.$

Фурье получил выражение для функции $f(y)$:

$f(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-ixy}g(x)\,dx.$

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\frac {dx}{dt}}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_{0}.$

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по $t$ от $a$ до $t$:

$x(t)=x_{0}+\int \limits _{a}^{t}F(s,\;x(s))\,ds.$

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

$x''(t)+[\lambda ^{2}-\nu (t)]x(t)=0\qquad (\lambda =\mathrm {const} ),\;x(a)=1,\;x'(a)=0.$

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

$x''(t)+\lambda ^{2}x(t)=g(t)$

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

$x(t)=\cos \lambda (t-a)+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{a}^{t}g(\tau )\sin \lambda (t-\tau )\,d\tau .$

Тогда для исходного уравнения получается:

$x(t)=\cos \lambda (t-a)+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{a}^{t}\nu (\tau )\sin \lambda (t-\tau )x(\tau )\,d\tau$

— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{n}(t)x(t)=F(t),\qquad t>a,$

$x(a)=C_{0},\;x'(a)=C_{1},\;\ldots ,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}$

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Задача Абеля

Основная статья: Задача о таутохроне

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

$f(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\varphi (\eta )}{\sqrt {x-\eta }}}\,d\eta ,$

где $f(x)$ — заданная функция, а $\varphi (x)$ — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости $(\xi ,\;\eta )$ по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой $x$, достигла оси $O\xi$ за время $t=f_{1}(x)$, где $f_{1}(x)$ — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью $O\xi$ как $\beta$ и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

$\int \limits _{0}^{x}{\frac {\varphi (\eta )}{\sqrt {x-\eta }}}\,d\eta =-{\sqrt {2g}}f_{1}(x),\qquad \varphi (\beta )={\frac {1}{\sin \beta }}.$

Литература

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, 3-е изд. — 1961.
• Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с. — ISBN 5-9221-0275-3.
• Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.