Открыть главное меню

Интегральное уравнение Фредгольма

Интегральное уравнение Фредгольма — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теорияПравить

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

 

где функция   называется ядром уравнения, а оператор  , определяемый как

 , называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого родаПравить

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

 

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра   и функции   найти функцию  .

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть  , и пределы интегрирования  , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций   и  , а, следовательно, решение даётся формулой

 

где   и   — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.

Уравнение второго родаПравить

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

 .

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро   и функцию  , найти функцию  . При этом существование решения и его множественность зависит от числа  , называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.

СсылкиПравить

Рекомендуемая литератураПравить

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.