Открыть главное меню
График функции

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

Для устранения сингулярности при иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

Эти две функции связаны соотношением:

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в рядПравить

Из тождества, связывающего   и   следует ряд:

 

где   — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

 

Интегральный логарифм и распределение простых чиселПравить

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем  . При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]

 

Для не слишком больших    , однако доказано, что при некотором достаточно большом   неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 1019[2] и 1,3971672·10316e727,951336108[3].

ПримечанияПравить

  1. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31
  2. Jan Büthe. An analytic method for bounding ψ(x) // Math. Comp. — 2018. — Vol. 87. — P. 1991-2009. — arXiv:1511.02032. — DOI:10.1090/mcom/3264. Доказательство использует гипотезу Римана.
  3. Yannick Saouter, Timothy Trudgian, and Patrick Demichel. A still sharper region where π(x) − li(x) is positive // Math. Comp. — 2015. — Vol. 84. — P. 2433-2446. — DOI:10.1090/S0025-5718-2015-02930-5. MR: 3356033. Указанная оценка не требует гипотезы Римана.

ЛитератураПравить

  • Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.