Интегральный признак Коши — Маклорена

(перенаправлено с «Интегральный признак Коши»)

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремыПравить

Пусть для функции   выполняется:

  1.   , т.е. функция принимает положительные значения на промежутке  ;
  2.   , т.е. функция является монотонно невозрастающей на  ;
  3.   (соответствие значения функции члену ряда).

Тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательстваПравить

  1. Построим на графике   ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
  2. Площадь большей фигуры равна   .
  3. Площадь меньшей фигуры равна   .
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна  
  5. Получаем  
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Полное доказательствоПравить

    монотонна на  , следовательно   существует.

   , следовательно

   .
Отсюда, если   сходится, то

 .
Поэтому   ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.

Если   расходится, то есть   , то

  значит ряд расходится.

Теорема доказана.

Примеры ("эталонные" ряды)Править

  • Обобщенный гармонический ряд   сходится при   и расходится при  , так как

  (случай  ),

  при  ,

  при  .

  •   сходится при   и расходится при  . Для обоснования нужно рассмотреть  .
  • На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.

Оценка остатка рядаПравить

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток   знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

 

с помощью несложных преобразований получаем:

 .

См. такжеПравить