Открыть главное меню
Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Содержание

Неформальное геометрическое описаниеПравить

 
Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами   будет интегральной суммой:

 

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из   стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

ОпределенияПравить

Через интегральные суммыПравить

Пусть на отрезке   определена вещественнозначная функция  .

Рассмотрим разбиение отрезка   — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок   на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков   называется шагом разбиения, где   — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  . Интегральной суммой называется выражение  .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора  , то это число называется интегралом функции   на отрезке  , то есть  .

В этом случае, сама функция   называется интегрируемой (по Риману) на  ; в противном случае   является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке  .

Через суммы ДарбуПравить

СвойстваПравить

  1. Невырожденность:  .
  2. Положительность: Если интегрируемая функция   неотрицательна, то её интеграл на отрезке   также неотрицателен.
  3. Линейность: Если функции   и   интегрируемы, и  , то функция   тоже интегрируема, и  .
  4. Непрерывность: Если интегрируемые функции   равномерно сходятся на отрезке   к функции  , то   интегрируема, и  . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
  5. Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть  . Функция   интегрируема на отрезке  , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков   и  , при этом  .
  6. Если функция   является первообразной непрерывной функции  , то интеграл функции   на отрезке   может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен  . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция   всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид:  , где   — произвольная константа.

Условия существования интеграла РиманаПравить

Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.

Критерий Лебега интегрируемости функции по РимануПравить

Функция интегрируема по Риману на отрезке  , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).

Другой критерийПравить

Для того, чтобы функция   была интегрируемой на отрезке  , необходимо и достаточно, чтобы сумма   стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения  .

Здесь  колебание функции   в сегменте  ,

колебание   функции   на множестве   — разность  ,
диаметр разбиения  [1].

Некоторые классы функций, интегрируемых по РимануПравить

Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно[2].

ИсторияПравить

Приведенное выше определение интеграла дано Коши[3], оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[4]:101-103, на русском языке впервые в 1914 году[5][6]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Фихтенгольц, 1966, с. 101—103.
  3. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  4. Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
  5. Риманн Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липщиц; Пер. Г.А. Грузинцева и С.Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
  6. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 186. — ISBN 5-06-003955-2.

ЛитератураПравить

  • В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

СсылкиПравить