Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

рассматривается предел сумм вида

$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},$

где интегрирующая функция $j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией). Если $j(x)$ непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx$ (если последний существует).

Применения

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса, всякая абсолютно монотонная при $x<0$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса, всякая аналитическая функция в круге $|z|<1$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса.

Литература

• Рудин, У. Основы математического анализа . — М.: Мир, 1976.
• Шилов, Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.