Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла

или в другой записи

для определённого интеграла

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формулПравить

Для неопределённого интегралаПравить

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

 

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

 

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

 

После перестановок:

 

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

 

Отсюда «следствие»:  , что очевидно неверно.

Для определённого интегралаПравить

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

 
 
 

Данные формулы справедливы, если каждая из функций   и   непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

ПримерыПравить

  •  
  •  
  • Иногда этот метод применяется несколько раз:
 
 
  • Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
 
 
  • В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
 
 
 
 
Таким образом один интеграл выражается через другой:
 
Решив полученную систему, получаем:
 
 

Многомерный случайПравить

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество  , а вместо производной − частная производная.

Пусть   открытое ограниченное подмножество   с кусочно-гладкой границей  . Если   и   гладкие функции на замыкании  , то

 

где   − внешняя нормаль к  , а   − её i-ая координата, i от 1 до n,   - мера на  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

Также см. Математический анализ#Библиография.

СсылкиПравить