Открыть главное меню

Непосредственное интегрированиеПравить

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)Править

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

 

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида   интегрируется следующим образом:

 

Пример: Найти  

Решение: Пусть  , тогда  .

 

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

 

применяемая для вычисления интегралов вида

 

где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.


Интегрирование некоторых тригонометрических функцийПравить

Пусть требуется проинтегрировать выражение  , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

  • если  , то применяется подстановка  [2];
  • если  , то применяется подстановка  [2];
  • если  , то применяется подстановка  [3].

Частный случай этого правила:

 

Выбор подстановки производится следующим образом:

  • если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку  ;
  • если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку  ;
  • если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку  .

Пример:  .

Решение: Пусть  ; тогда   и  , где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального биномаПравить

Основная статья: Дифференциальный бином

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

 

где a, bдействительные числа, a m, n, pрациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — общий знаменатель дробей   и  ;
  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — знаменатель дроби  .
  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — знаменатель дроби  .

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].

Интегрирование по частямПравить

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

 

Или:

 

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

 

где   — многочлен  -й степени.


Пример: Найти интеграл  .

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что   и  , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем  

Интегрирование рациональных дробейПравить

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь  , знаменатель которой разложен на множители

 

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

 

где   — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример:  

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

 

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

 

 

Следовательно  

Тогда

 

Теперь легко вычислить исходный интеграл  

Интегрирование элементарных функцийПравить

Основная статья: Алгоритм Риша

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
  2. 1 2 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
  3. См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
  4. P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées (англ.) : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111.

СсылкиПравить