Открыть главное меню

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула ЛагранжаПравить

Функция   может быть интерполирована на отрезке   интерполяционным многочленом  , записанным в форме Лагранжа:

 

при этом ошибка интерполирования функции   многочленом  :

 

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

 

Интерполяционная формула НьютонаПравить

Если точки   расположены на равных расстояниях  , многочлен   можно записать так:

 

(здесь  , а   — разности k-го порядка:  ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения  , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от  . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений  , близких к  . При интерполировании функций для значений  , близких к  , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой  -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

 

где   — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Интерполяционная формула СтирлингаПравить

 


 

(о значении символа   и связи центральных разностей   с разностями   см. Конечных разностей исчисление)

Применяется при интерполировании функций для значений  , близких к одному из средних узлов  ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов  , считая   центральным узлом  .

Интерполяционная формула БесселяПравить

 


 


 

Применяется при интерполировании функций для значений  , близких середине   между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов  , и располагать их симметрично относительно  

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;