Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

ФормулыПравить

Пусть заданы некоторые попарно различные точки  , называемые также узлами интерполяции, и известны значения   некоторой функции   в этих точках.

Случай неравноотстоящих узловПравить

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле

 

где  разделённая разность порядка  .

Случай равноотстоящих узловПравить

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии  , то есть  ,  , то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с   (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с   («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид

 

где  , а выражения вида   — конечные разности.

Во втором случае формула принимает вид

 

где  .

При   справедлива формула:

 

где   — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Остаточный членПравить

Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа. Поэтому остаточные члены этих формул совпадают. Однако остаточный член   формулы Ньютона можно записать в другой форме:

  • для случая неравноотстоящих узлов:
 
Если функция   имеет производную порядка  , то   где   — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.
  • для случая равноотстоящих узлов:
для интерполирования вперёд:
 
для интерполирования назад:
 

ЛитератураПравить

См. такжеПравить