Информация Фишера

(перенаправлено с «Информационная матрица»)

Информа́ция Фи́шера - математическое ожидание квадрата относительной скорости изменения условной плотности вероятности [1]. Эта функция названа в честь описавшего её Рональда Фишера.

ОпределениеПравить

Пусть  плотность распределения для данной статистической модели. Тогда если определена функция

 ,

где  логарифмическая функция правдоподобия, а   — математическое ожидание по   при данном  , то она называется информацией Фишера для данной статистической модели при   независимых испытаниях.

Если   дважды дифференцируем по  , и при определенных условиях регулярности, информацию Фишера можно переписать как [2]

 

Для регулярных моделей:   (В этом и состоит определение регулярности).

В этом случае, поскольку математическое ожидание функции вклада выборки равно нулю, выписанная величина равна её дисперсии.

Фишеровским количеством информации, содержащемся в одном наблюдении называют:

 .

Для регулярных моделей все   равны между собой.

Если выборка состоит из одного элемента, то информация Фишера записывается так:

 .

Из условия регулярности, а также из того, что в случае независимости случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, следует, что для   независимых испытаний  .

СвойстваПравить

  • Из указанного выше свойства дисперсий следует, что в случае независимости случайных величин   (рассматриваемых в одной статистической модели) информация Фишера их суммы равна сумме информации Фишера каждой из них.

Сохранение информации достаточной статистикойПравить

В общем случае, если  статистика выборки X, то

 

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда T является достаточной статистикой.

Достаточная статистика содержит столько же информации Фишера, сколько и вся выборка X. Это может быть показано с помощью факторизационного критерия Неймана для достаточной статистики. Если статистика   достаточна для параметра θ, то существуют функции g и h такие, что:

 

Равенство информации следует из:

 

что следует из определения информации Фишера и независимости   от θ.

См. такжеПравить

Другие меры, используемые в теории информации:

ПримечанияПравить

  1. Леман, 1991, с. 112.
  2. Lehmann, E. L. (англ.); Casella, G. Theory of Point Estimation (неопр.). — 2nd ed. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-98502-6. , eq. (2.5.16).

ЛитератураПравить

  • Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-013941-6.