Открыть главное меню

Центр вписанной окружности

(перенаправлено с «Инцентр»)
Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом .

Содержание

СвойстваПравить

  • Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника. Для треугольника   со сторонами  ,   и  , противолежащими вершинам  ,   и   соответственно, инцентр делит биссектрису угла   в отношении:
 .
 
Теорема трилистника

Если продолжение биссектрисы угла   пересекает описанную окружность   в точке  , то выполняется равенство:  , где   — центр вневписанной окружности, касающейся стороны  ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).

  • Расстояние между инцентром   и центром описанной окружности   выражается формулой Эйлера:
 ,

где   и   — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Мякишев А. Г.  Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение». вып. 19). — ISBN 5-94057-048-8. — С. 11, п. 5.

ЛитератураПравить

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.