Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

ОпределениеПравить

Преобразования

 
 
 , где   — число степеней свободы,
 

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона  :

 
 

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона  :

 
 

Переменные   и   называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а   и   — старыми координатами и импульсами.

Производящие функцииПравить

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

 

где постоянную   называют валентностью канонического преобразования,   — полный дифференциал некоторой функции   (предполагается, что   и   также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых   называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные   изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных  , причём выбор независим для каждого  . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого   одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции   имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты  . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции  . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех   возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

 

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов    , , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типаПравить

Пусть   — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

 

кроме того, задано некоторое число  , тогда пара   задаёт каноническое преобразование по правилу

 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:

 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

 

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типаПравить

Пусть   — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

 

кроме того, задано некоторое число  , тогда пара   задаёт каноническое преобразование по правилу

 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:

 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

 


Производящая функция 3-го типаПравить

Пусть   — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

 

кроме того, задано некоторое число  , тогда пара   задаёт каноническое преобразование по правилу

 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:

 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

 


Производящая функция 4-го типаПравить

Пусть   — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

 

кроме того, задано некоторое число  , тогда пара   задаёт каноническое преобразование по правилу

 
 
 

Связь с исходной производящей функцией:

 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

 

ПримерыПравить

1. Тождественное преобразование

 
 
 

может быть получено при:

 

2. Если задать

 

то полученное преобразование будет иметь вид:

 
 
 

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

 
 
 

может быть получено при:

 

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

 

тогда

 

В частности, если

 

где   — ортогональная матрица:

 

то

 
 

К точечным преобразования приводит и функция:

 

тогда

 

В частности функция

 

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных   системы с одной степенью свободы:

 
 

является унивалентным каноническим преобразованием при

 

производящая функция:

 

Такие преобразования образуют специальную линейную группу  .

Действие как производящая функцияПравить

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

 

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и ЛагранжаПравить

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

 
 
 

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций   и   условия:

 

где под   и   понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

 

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

 
 
 

ЛитератураПравить