Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:[1]

Пусть обозначает множество предельных точек множества . Существует ли нигде неплотное множество , такое что пересечение
не пусто?

Определения править

Классическое построение править

Из единичного отрезка   удалим среднюю треть, то есть интервал  . Оставшееся точечное множество обозначим через  . Множество   состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через  . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем  . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств  . Пересечение

 

называется канторовым множеством.

 

Множества  

С помощью троичной записи править

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например  , так как  .

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор править

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек   такие, что для любого  

  или  .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия править

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства —  [2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[3][4].

Свойства править

Вариации и обобщения править

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса   —  -я степень двухточечного дискретного пространства  . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше  . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше   есть непрерывный образ подпространства канторова куба  .

Диадический компакт[en] — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство[en][5] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также править

Примечания править

  1. Moore, Gregory H. The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology (англ.) // Historia Math. — 2008. — Vol. 35, no. 3. — P. 220–241.
  2. Энгелькинг, 1986, с. 136.
  3. Энгелькинг, 1986, с. 207—208.
  4. Канторово множество — статья из Математической энциклопедии. В. В. Федорчук
  5. Диадическое пространство — статья из Математической энциклопедии. В. А. Ефимов

Литература править

  • Энгелькинг Р. . Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.