Открыть главное меню

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.

Содержание

ОпределенияПравить

Классическое построениеПравить

Из единичного отрезка   удалим среднюю треть, то есть интервал  . Оставшееся точечное множество обозначим через  . Множество   состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через  . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем  . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств  . Пересечение

 

называется канторовым множеством.

 

Множества  

С помощью троичной записиПравить

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например  , так как  .

Как аттракторПравить

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек   такие, что для любого  

  или  .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточияПравить

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства —  [1]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[2][3].

СвойстваПравить

Связанные определенияПравить

  • Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса   — это  -я степень двухточечного дискретного пространства  .
    • Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше  .
    • Каждый хаусдорфов компакт веса не больше   есть непрерывный образ подпространства канторова куба  .
  • Диадический компактruen — это компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба.
  • Диадическое пространствоruen[4] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Энгелькинг Р.  Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.