Открыть главное меню

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Содержание

Касательный вектор к кривойПравить

  • Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в ней:  .

Касательным вектором к графику функции   в точке   называется вектор с компонентами

  •  .
  • Если функция   имеет в точке   бесконечную производную   то касательный вектор
     .

Общее определениеПравить

Касательным вектором к гладкому многообразию   в точке   называется оператор  , сопоставляющий каждой гладкой функции   число   и обладающий следующими свойствами:

  • аддитивность:  
  • правило Лейбница:  

Множество всех таких операторов в точке   имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

 
 .

Совокупность всех касательных векторов в точке   образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке  . Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путейПравить

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь  :

 .

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь  , который его касается в момент времени t0:

 .

Касание двух путей   и   означает, что  ; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразиюПравить

Касательный вектор в точке   гладкого подмногообразия   евклидова пространствавектор скорости в точке   некоторой кривой в  .

Иначе говоря, касательный вектор в точке   подмногообразия, локально заданного параметрически

  с  ,

есть произвольная линейная комбинация частных производных  .

ЗамечанияПравить

  • Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости  .
  • Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в  . Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

ЛитератураПравить

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.