Категория модулей

Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые (левые или двусторонние — по предварительной договорённости) унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом $A$ с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы $A$-модулей.

Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию модулей (это утверждение известно как теорема Фрейда-Митчелла о полном вложении). Свойства категории модулей отражают ряд важных свойств кольца $A$, храня в себе много информации о его внутренней структуре, например, о его гомологической размерности, факторе по радикалу Джекобсона и даже о его центре (в частности, для коммутативных колец это означает, что всякое из них с точностью до изоморфизма восстанавливается по категории модулей над ним). Категория модулей над коммутативным конечнопорождённым кольцом содержит всю алгебро-геометрическую характеристику аффинной схемы спектра кольца (одна из теорем Серра). Категории модулей также имеют достаточно много инъективных и проективных объектов (то есть у всякого объекта нашей категории есть мономорфизм в инъективный объект и эпиморфизм из проективного объекта), содержат генераторы и когенераторы, а также все пределы и копределы, сиречь являются биполными. Компактные объекты в категории модулей есть в точности конечно представленные модули.

Категории модулей над разными кольцами могут быть эквивалентны. В этом случае говорят, что соответствующие кольца Морита-эквивалентны. Например, эквивалентны между собой категории модулей над алгебрами матриц разного порядка, но общим полем. Все они эквивалентны категории пространств над тем же полем. Как было сказано выше, Морита-эквивалентные коммутативные кольца изоморфны.

Примеры

• Если $K=\mathbb {Z}$ ― кольцо целых чисел, то категория модулей есть категория абелевых групп.
• Если $K=F$ есть поле, то категория модулей есть категория векторных пространств над $F$.

Литература

• Фейс К. Алгебра: Кольца, модули, категории, том 1,2. — М.: «Мир», 1977-79, — 688 с.+464 с.
• Каш Ф. Модули и кольца. — М.: «Мир», 1981, — 368 с.
• Ламбек И. Кольца и модули. — М.: «Мир», 1971, — 280 с.