Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой [2].

Квадрат
Квадрат со стороной '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' и диагональю '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'
Квадрат со стороной и диагональю
Рёбра 4
Символ Шлефли {4}
Вид симметрии Диэдрическая группа (D4)
Площадь a2
Внутренний угол 90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Варианты определенияПравить

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].

  • Геометрическая фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом.
  • Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
  • Прямоугольник, у которого диагонали равны.
  • Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
  • Ромб, у которого два соседних угла равны.
  • Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
  • Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
  • Дельтоид, все углы которого прямые.

СвойстваПравить

Далее в этом разделе   обозначает длину стороны квадрата,   — длину диагонали,   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности.

Периметр квадрата   равен:

 .

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали  

Вписанная и описанная окружностиПравить

 
Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

 

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

 

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

ПлощадьПравить

Площадь   квадрата равна

 .

Из формулы   связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства[5].

  1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
  2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.
 
К уравнению квадрата; здесь  

Уравнение квадратаПравить

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке   и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:

 

где   — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна   его диагональ равна   а площадь квадрата равна  

 
К уравнению квадрата

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

  1.   (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
  2.  
  3. полярных координатах[7])  

Математические проблемыПравить

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

 
Пример квадрирования квадрата  

СимметрияПравить

 
Линии симметрии

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

  • одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
  • четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

ПрименениеПравить

В математикеПравить

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике квадрат может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

 

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].

Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

 
3-симплекс (3D)
 

Орнаменты и паркетыПравить

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие примененияПравить

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

ГрафикаПравить

Ряд символов имеют форму квадрата.

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

  • <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text.

Вариации и обобщенияПравить

Многомерное пространствоПравить

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрияПравить

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

     
 
Построение квадрата с использованием циркуля и линейки
 
Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
  2. Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  4. 1 2 Каплун, 2014, с. 171—173.
  5. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
  6. Уравнение квадрата в декартовой системе координат
  7. What is the polar equation for a square, if any?
  8. Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.

ЛитератураПравить

  • Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО "Феникс", 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

СсылкиПравить