Открыть главное меню

Квадрати́чная иррациона́льностьиррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами[1] ). Часть источников включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен неприводим в поле рациональных чисел то есть не распадается в этом поле на множители первой степени[1].

Содержание

Алгебраические свойстваПравить

Решение квадратного уравнения   даёт формула:

 

где   (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что   Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

 

где   — рациональные числа, причём  , а подкоренное выражение   неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа[2].

Примеры:  

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для   также является квадратичной иррациональностью:

 

Число   называется сопряжённым для   Имеют место формулы:

 

Канонический форматПравить

Без ограничения общности можно упростить уравнение   следующим образом.

  1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант   тогда тоже становится целым числом.
  2. Если старший коэффициент   то умножим уравнение на  .
  3. Наконец, разделим полученное уравнение   на наибольший общий делитель НОД .

В итоге получим уравнение   с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителен[3]. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня   выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение   входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение   будет свободно от квадратов.

Квадратичные поляПравить

Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом   либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел . Это поле обозначается   и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение   может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле)[4].

Предположим, что, как описано выше,  свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений   получаются разные квадратичные поля [5].

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов   не может делиться на 4, поэтому возможны два случая[4] в зависимости от того, какой остаток даёт   при делении на 4.

  1. Если   имеет вид   то целые элементы — это числа вида  , где   — натуральные числа.
  2. Если   имеет вид   или   то целые элементы — это числа вида  , где   — натуральные числа.

Связь с непрерывными дробямиПравить

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа)[6]:

Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь.

Пример:

 

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности   будет чисто периодической тогда и только тогда, когда  , а сопряжённая иррациональность   лежит в интервале  . Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке[7].

ОбобщениеПравить

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности  -й степени», которая является корнем неприводимого в поле   многочлена  -й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при   а квадратичные иррациональности соответствуют случаю  

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

ИсторияПравить

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число   не представляет собой полный квадрат, то   не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Квадратичная иррациональность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 776.
  2. Галочкин А. И. Квадратичная иррациональность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 776.
  3. Нестеренко Ю. В., 2008, с. 207.
  4. 1 2 Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 230—232. — 428 с.
  5. Бухштаб А. А., 2015, с. 149—150.
  6. Нестеренко Ю. В., 2008, с. 208—209.
  7. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука, 1965. — С. 100.

ЛитератураПравить

  • Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М.: Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
  • Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

СсылкиПравить