Открыть главное меню

Квадратичная форма

ОпределениеПравить

Пусть   есть векторное пространство над полем   и   — базис в  .

Функция   называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

 

где  , а   — некоторые элементы поля  .

Связанные определения и свойстваПравить

  • Матрицу   называют матрицей квадратичной формы   в данном базисе. В случае, если характеристика поля   не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть  . Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
 .
  • При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных  ) с матрицей замены   матрица квадратичной формы изменяется по формуле
 
где   — матрица квадратичной формы в новом базисе.
  • Из формулы   следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг  , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
  • Для любой квадратичной формы   существует единственная симметричная билинейная форма  , такая, что  . Билинейную форму   называют полярной к  , она может быть вычислена по формуле
 
  • Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формыПравить

В случае, когда   (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

  • Квадратичная форма   называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого   выполнено неравенство    . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
  • Квадратичная форма   называется знакопеременной (индефинитными), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма   называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если     для любого  .

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

  • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический видПравить

Вещественный случайПравить

В случае, когда   (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):

 

где   — ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы  , а в случае вырожденной —  .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число   (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число   (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару  . Числа   являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случайПравить

В случае, когда   (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

 

где   — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

ПримерыПравить

  • Скалярное произведение векторов   — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма   является положительно определённой, она сопоставляет вектору   квадрат его длины.
  • Квадратичная форма   на плоскости (вектор   имеет две координаты:   и  ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду   с помощью линейной замены  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить