Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.
Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.
Примеры
правитьПоследовательность квадратов начинается так:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
_0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0_ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
1_ | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
2_ | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
3_ | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
4_ | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
5_ | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
6_ | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
7_ | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
8_ | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
9_ | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Представления и свойства
правитьКвадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:
- 1:
- 2:
- ...
- 7:
- ...
Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
Пример:
- 1:
- 2:
- ...
- 4:
- ...
Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле[1]:
Способ 1, метод приведения:
- Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до :
-
- Получим:
-
- Умножим на 2 и перегруппируем:
-
- (В рассуждениях использована формула: , вывод которой аналогичен приведенному)
Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:
- Заметим, что сумма функций степени может быть выражена как функция степени. Исходя из этого факта предположим:
-
-
- Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
- Решив её, получим
- Таким образом:
Ряд обратных квадратов сходится[2]:
Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:
- Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
- Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей.
- Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
- Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифрапредпоследняя
цифра0 0 5 2 1, 4, 9 чётная 6 нечётная
Геометрическое представление
править1 | |
---|---|
4 | |
---|---|
|
|
9 | |
---|---|
|
|
16 | |
---|---|
|
|
25 | |
---|---|
|
|
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Некоторые конечные числовые ряды . Math24.ru. Дата обращения: 14 июня 2019. Архивировано 14 июня 2019 года.
- ↑ Кохась К. П. Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.
- ↑ K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)
Литература
править- Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Ссылки
править- Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
- Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)